收藏本站
收藏 | 手机打开
二维码
手机客户端打开本文

基于应力佳点的双二次元有限体积法

于长华  
【摘要】:有限体积元(FVE)法(又称为广义差分法,控制体积法,盒式方法),由于能够保持质量、动量、能量等物理量的局部守恒性,已成为求解偏微分方程的一种重要的数值方法,特别是计算流体力学,电磁场和半导体模拟等问题.有限体积元格式的建立是基于广义Galerkin形式的变分原理:首先,将求解区域作适当的初始网格剖分Th及相应的对偶剖分Th*.其次,分别构造两种网格对应的试探函数空间Uh和检验函数空间Vh.最后,利用Green公式,将在对偶单元上的面积分转化成沿对偶单元边界的线积分.一般而言,有限体积元法可以看作是介于有限元法和有限差分方法之间的第三类离散方法,其一方面具有和有限元方法相同的H1模收敛速度,适于处理复杂区域及边界问题,另一方面,与有限差分方法类似,离散格式简单易于计算.更重要的是,有限体积元法保持了原始方程的物理量的局部守恒性. 有限元法与有限体积元法的主要区别在于有限体积元法涉及两个空间,即试探函数空间(trial space)和检验函数空间(test space),其中试探函数空间为相应于原始剖分Th的有限元空间,检验函数空间为相应于对偶剖分Th*的分片(低次)多项式空间.1982年,李荣华教授[35]给出了检验函数空间的一般取法,取局部Taylor展式的公项作为对偶单元上的基函数,将积分插值法改写成广义Galerkin法的变分形式,从而将不规则网格差分法推广为广义差分法,此方法被提出后,国内的许多学者对有限体积元法的理论及应用作了广泛深入的研究,包括对椭圆、抛物和双曲型方程的有限体积元格式的构造及相应的理论分析,从而对有限体积元法建立了一套系统而完善的理论框架,这些研究的大部分结果已总结在文献[6,7]的专著里.由插值逼近理论可知,k次Lagrange逼近多项式插值对一阶导数的逼近一般只能得到k阶精度,即使被插值逼近函数具有更高的光滑度,但这并不排除在一些特殊点上,导数逼近误差能达到更高的精度,这些超收敛点在物理上称作应力佳点.目前,已有不少文献对基于这些应力佳点的有限体积元法进行了一定的研究,主要的文献可参考([810]). 对于一维两点边值问题,文[11]构造了一类求解两点边值问题的二次元有限体积法,试探函数空间取相应于原始剖分的Lagrange型二次有限元空间,在原始剖分的基础上使用对分法作对偶剖分,检验函数空间取相应于对偶剖分的分片常数函数空间,证明了该有限体积元格式具有最佳阶的H1模收敛阶.文[8]构造了一类新型的高次元有限体积法,使用了应力佳点(Gauss点)作为对偶单元的节点,尽管其对偶剖分与检验函数空间的构造比较复杂,但却保证了有限体积元法与相应有限元法的双线性形式的差是小量,从而借助于有限元法的理论结果,获得了有限体积法的一系列收敛性结果,包括H1估计,L2估计和超收敛估计.文针对两点边值问题构造了一类新的Lagrange型二次元有限体积法,其对偶剖分的方式与文不同,选取了二阶Gauss点(应力佳点)作为对偶单元的节点.接着,证明了新方法具有最佳阶的H1模和L2模收敛阶,并讨论了误差解在应力佳点处一阶导数的超收敛估计. 通过数值算例表明,文中二次有限体积元格式的L2模收敛阶不是最优的,仅有和H1模相同的收敛阶,并且不存在二阶Gauss点(应力佳点)处数值梯度的超收敛性;而文中二次有限体积元格式的L2模收敛阶是最优的,即比H1模有高一阶的收敛性,并且在应力佳点处存在数值梯度的超收敛性.即文构造的二次元有限体积法比文在L2范数下有更高的收敛性.文构造了一类求解二维椭圆问题的双二次元有限体积法,其对偶剖分的方式与文类似,也给出了H1模误差估计的证明.本文中,通过选取矩形单元的四个插值应力佳点(Gauss点)作为对偶单元的节点,我们首先针对Poisson方程构造了一类新的Lagrange型双二次元有限体积法,接着,对新方法进行了稳定性和收敛性分析,包括H1估计,L2估计和超收敛估计,并通过数值实验验证了理论分析的结果.然后将其推广到二维抛物和二阶双曲型方程,对于二维抛物和二阶双曲型方程的半离散和全离散双二次元有限体积法的误差估计,可以借鉴有限元法的理论和方法,得到基本平行的结果,但另一方面,由于有限体积元法涉及到两个空间,出现了a(·,Πh·)和(·,Πh·)的非对称性问题,因此,我们需要做特别的处理.本文的创新点有以下几个方面: (1)构造了求解Poisson方程的一类新的Lagrange型双二次元有限体积法.新方法与文中双二次元有限体积法作对偶剖分的方式不同,选取了矩形单元的四个插值应力佳点(Gauss点)作为对偶单元的节点,试探函数空间取双二次有限元空间,检验函数空间取相应于对偶剖分的分片常数函数空间.证明了新方法具有最优阶的H1模和L2模收敛阶,并讨论了在应力佳点处平均数值梯度的超收敛性.最后,数值实验验证了新方法比已有方法有更高的精度和理论分析的结果. (2)结合求解椭圆方程中新格式的构造思想,我们给出了求解二维抛物型方程的半离散和全离散双二次有限体积元格式.解决了a(·,Πh*·)和(·,Πh*·)的非对称性问题,然后分别对两种格式进行了收敛性分析,包括H1估计,L2估计和超收敛估计.最后,通过数值实验验证了新格式的高精度和理论分析的结果. (3)将新方法推广到二阶双曲型方程,构造了一全离散双二次有限体积元格式.得到了具有最优阶的L∞(H1)模和L∞(L2)模误差估计,讨论了在应力佳点处平均数值梯度的超收敛估计.最后,我们进行了数值算例比较,验证了新格式的高精度和理论分析的结果.


知网文化
【相似文献】
中国期刊全文数据库 前20条
1 陈健华;;用边界元法计算受内压小偏心圆筒应力[J];河北理工学院学报;1992年03期
2 杨旻;非线性抛物型方程的二次元有限体积元方法[J];高等学校计算数学学报;2004年03期
3 陈传军;;半导体瞬态问题的二次有限体积元方法及分析[J];工程数学学报;2006年04期
4 徐善驾,彭松村;部分介质填充波导的高次有限元分析[J];应用科学学报;1986年04期
5 田明忠,陈仲英;椭圆型方程的广义差分法(二次元)[J];高等学校计算数学学报;1991年02期
6 周焕林,牛忠荣,王秀喜,程长征;热弹性力学边界元中二次元的几乎奇异积分计算[J];合肥工业大学学报(自然科学版);2003年06期
7 向新民;解两点边值问题的广义差分法——Lagrange二次元[J];黑龙江大学自然科学学报;1982年02期
8 马书尧;;用边界元法解回转轴对称稳定传热问题[J];河北工业大学学报;1990年02期
9 马书尧;来新民;;一种弹性分析轴对称边界元程序[J];河北工业大学学报;1991年02期
10 蔡文豪;一个平面二次元的应力计算公式[J];南昌大学学报(工科版);1992年04期
11 徐长发;;解有限元方程的逐层分裂迭代法及其敛速分析[J];应用数学;1988年Z1期
12 周春红;邢彭龄;杨德全;;温度场的二次元分析方法[J];内蒙古民族大学学报(自然科学版);2006年01期
13 岑伯宁;;宅什么“宅”[J];新知客;2010年03期
14 何德芳;刘述斌;王泳嘉;;三维弹性问题的边界元法中几种基本单元的分析[J];机械强度;1987年01期
15 邓庆平;;简单Bellman问题的有限元逼近[J];数学季刊;1991年02期
16 王平;;一维大气污染模型的二次有限体积元方法[J];商丘师范学院学报;2008年09期
17 孙澈,何柏荣,郭献中,杨成新,刘企英;单程波动方程解的有限元逼近[J];计算物理;1986年03期
18 朱起定;有限元法的一致超收敛估计[J];湘潭大学自然科学学报;1985年02期
19 邓波;;Golomb猜想在有限域GF(p~n)中的若干结果[J];贵州科学;1991年01期
20 岑伯宁;Zebra Pares;;世界正在被3D[J];新知客;2010年03期
中国重要会议论文全文数据库 前7条
1 姚振汉;;关于边界元解离散误差的几点思考[A];中国计算力学大会'2010(CCCM2010)暨第八届南方计算力学学术会议(SCCM8)论文集[C];2010年
2 张延军;王思敬;王恩志;;一种新的岩土工程数值法——FEM-EFGM耦合法[A];全国岩土与工程学术大会论文集(上册)[C];2003年
3 姜继海;;二次调节静液传动技术[A];中国机械工程学会流体传动与控制分会——第三届全国流体传动及控制学术会议大会交流论文集[C];2004年
4 周平;吴正德;;矩形波导E面结头的边界元分析[A];1997年全国微波会议论文集(上册)[C];1997年
5 姜继海;;二次调节静液传动技术[A];第三届全国流体传动及控制学术会议大会交流论文集[C];2004年
6 李宝祥;吴惠南;黄太煌;;D型肝炎核醣核酸催化中心的核磁共振研究[A];第七届全国波谱学学术会议论文摘要集[C];1992年
7 姚振汉;;三十年边界元法研究的心得[A];力学与工程应用(第十三卷)[C];2010年
中国博士学位论文全文数据库 前2条
1 于长华;基于应力佳点的双二次元有限体积法[D];吉林大学;2012年
2 何龙;液压二次调节惯性负载系统控制及节能特性研究[D];燕山大学;2010年
中国硕士学位论文全文数据库 前10条
1 王天竹;二次元文化在我国的跨文化影响[D];辽宁大学;2013年
2 吴学科;地下水问题中的一类离子反应数学模型的有限体积元法[D];南京师范大学;2006年
3 尹德承;三维有限元后处理技术[D];湖南师范大学;2011年
4 余文霞;二次调节静液传动系统控制的研究[D];沈阳工业大学;2003年
5 辛志民;工程机械跑合试验台二次调节加载系统的研究[D];兰州理工大学;2012年
6 赵娜;基于二次元影像仪的陶瓷雕刻机开放式数控系统研究[D];山东理工大学;2013年
7 吴美红;推开双重世界之门[D];浙江师范大学;2011年
8 张强;基于二次调节的车辆轮桥加载系统特性研究[D];辽宁工程技术大学;2011年
9 吴威威;Cahn-Allen方程与Cahn-Hilliard方程半隐的交替方向discontinuous Galerkin方法[D];上海交通大学;2012年
10 周巧玲;二次调节转速系统智能控制技术研究[D];燕山大学;2010年
中国重要报纸全文数据库 前4条
1 张宗任;谈程序界面的发明专利保护倾向[N];中国知识产权报;2007年
2 ;华阳多媒体成功实施神州数码ERP[N];中国电子报;2005年
3 吕敬人;构建书籍设计新理念[N];中国新闻出版报;2001年
4 记者 胡建勋;虎门建成首个动漫商城[N];东莞日报;2009年
中国知网广告投放
 快捷付款方式  订购知网充值卡  订购热线  帮助中心
  • 400-819-9993
  • 010-62982499
  • 010-62783978