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具有周期结构的Helmholtz方程散射问题与反散射问题的数值计算

张晔  
【摘要】:微分方程cauchy问题是不适定的,当测量的Cauchy数据带有微小的扰动,很可能会引起反演结果的巨大偏差.因而对Cauchy问题的研究,特别是提出有效的、稳定的、可实现的、快速的数值计算方法是当今的重要课题之一 本论文主要研究了满足周期条件的Laplace方程初值问题和Helmholtz方程Cauchy问题的不适定性,并给出了相应的数学模型,同时提出了有效的、稳定的数值计算方法.论文分为五部分. 第一章,首先简单介绍了Helmholtz方程的物理背景,之后对Cauchy问题及Helmholtz方程的研究状况做简短的综述. 第二章,主要介绍了不适定问题及求解不适定问题的数值算法.我们针对性的介绍了Helmholtz方程Cauchy问题和初值问题,总结了相应的数值算法,以及数值算法在反问题方面的应用. 第三章,考虑了周期结构Cauchy问题即椭圆方程初值问题的数值求解。我们把微分方程初值问题转化为等价的算子方程,之后对算子的谱的构成做了详细的分析,将特征空间分为两个子空间,其中一个子空间的问题严重的不适定,针对该子空间问题的求解提出了正则化策略.具体结论如下: 求U(y)=(u(y),ω(y))T,u∈C1([0,1];Hp0×Hp0),满足定理1算子A的谱为σ(A)={(2nπ);n=0,±1,±2,…}, 其对应的特征函数为 令H+=span{Vn(1),Vn(2)},H-=span{Vn(1),Vn(2)}-1n=∞,H0=span{V0},其中V0=(01),则D(A)∈H+(?)H-(?)H0,并且A(H+)∈H+,A(H)∈H-,4(H0)∈H0即H+,H-和H0都是算子A的不变子空间。记方程(1)可分解为d/dyU(y)=A+U+(y),(2) d/dyU(y)=A0+U0+(y),(3) d/dyU-(y)=A-U-(y),(4) 关于方程(2)-(4),有如下结果: 定理2算子-A+,A0和A分别生成空间H+,H0和H-上的C0算子半群E+(y),E0(y)和E-(y).并且,方程(2),(3),和(4)的解U+(y),U0(y)和U-(y)满足算子方程组 我们提出了一种带有正则化策略的数值方法,相应的正则化问题的解的表达式: 该方法尚未在其它文献中出现过,且通过数值试验证明了本文方法的可行性及易实现性。 第四章,考虑利用一个入射波和在光栅上部一条直线Гb上的散射场反演单周期良导体光栅的形状。先利用Dirichlet-to-Neumann映射得到散射场在Гb上的法向导数值,然后应用求解椭圆方程初值问题的谱方法求解Helmholtz方程Cauchy问题,得到Гb以下的全场,最后逐点寻找全场的零点并连接,得到的曲线即为反演的光栅形状。主要结论如下: 已知全场满足方程其中uα(x+l,y)=uα(x,y),Ωlb={(x,y);byf(x),x∈[0,l]}(?)u/(?)n为边界Гb上的外法同导数,T为已知的Dirichlet-to-Neumann算子,u0已知,α=ksinθ,θ是入射角,k是波数. 将该问题转化为等价的初值问题:求解(u,w)满足方程 对于定义算子 其定义域为其中L是微分算子 那么问题(8)可表述成如下抽象初值问题:求U(t)=(u(t),ω(t))T,u∈C1[0,1]; Hp0×Hp0满足 定理3算子A的谱为σ(A)={λn;n=0,±1,±2,…}, 其中: 其对应的特征函数为这里 令σi(A)={λn;m∈Zi},σ+(A)={λn;λn0,且n∈zr},σ_(A)={λn;λn0,且n∈Zr},H+=span{Vn,λn∈σ+(A)}n∈Zr·H=span{Vn,λn∈σ_(A)∪σ(A)}n∈Zi∪Zr,则D(4)∈H+(?)H-,并且A(H+)∈H+,A(H-)∈H-,即H+和H都是算子A的不变子空间。 记方程(11)可分解为d/dtU+(t)=A+U+(t)(12) d/dtU+(t)=A+U+(t)(13) 定理4算子-A+和A分别生成空间H+和H上的C0算子半群E+(t)和E-(t).并且,方程(12)和(13)的解U+(t)和U-(t)满足算子方程组 定理5当t0时,算子E+(t):H+→H+和E_(t):H-→H皆为紧算子.故问题(7)的正则化解为 通过数值试验证明了该方法是可行的。 第五章,对论文的主要工作做了总结,并提出了将要考虑的问题.


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