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某些带有开弧段的偏微分方程外问题的数值计算

孙伟  
【摘要】:本文分别针对两类带有开弧段的微分方程外问题-斜微商问题和弧的散射问题,提出两种不同的数值方法.Ⅰ.开弧外斜微商问题的基于Chebyshev多项式的方法 首先我们考虑二维平面内模拟霍尔效应的开弧外斜微商问题.用一个简单开弧Γ∈C2,λ来模拟二维平面上的电极,其中λ∈(0,1].令用z1:=y(1),z-1:=y(-1)来表示r的两个端点.我们用Γ+来表示当s增长时,Γ的左手一侧,那么用Γ来表示Γ的另一侧.用n表示指向Γ的法向量.Γ的切方向τ定义为s增长时Γ的方向.显然,其中 那么开弧外斜导算子问题为:其中β是一个实的常数. 考虑角位势:积分核V(x,σ)由下面的公式定义,其中可以看出,V(x,σ)是向量y(σ)x与x轴的夹角,且V(x,σ)是一个关于x的多值调和函数. 下面我们对其添加一个附加条件,固定V(x,σ)的某个分支,使其变成一个单值函数:对它进行分部积分,v[μ](x)会变成如下形式的双层位势:其中且rσ:={y=y(s)=(y1(s),y2(s)),s∈[-1,σ]}. 然后利用角位势和单层位势的线性组合来构造问题(1)的解.其中C表示任意常数,v是角位势,w是单层位势如果(6)中的μ(σ)有类似的形式,其中μ是一个连续函数,解u[μ](x)在r的端点处有奇性:存在(?)∈(-1,0],使得这里d=±1. 我们把(6)带入到问题(1)的边界条件中,得到一个积分方程组(见[72]),其中φ0(x,y)是向量xy与法向量ny之间的夹角.如果(6)中的μ满足(8)和(9),它就是问题(1)的解.为了证明(8)和(9)的解的存在唯一性,定义两个边界积分算子:它们的定义如下其中V={μ∈H-1/2(Γ):fΓμds=0}.可以看出ToI是角位势法向导数在Γ上的极限. 命题0.1[1]在(9)的条件下,由此重新表示(8)和(9),得: 命题0.2I是一个有界可逆算子. 定理0.3对于任何的f∈H-1/2(Γ),(11)有唯一的解μ∈H-1/2(Γ) 用Tn(σ)和Un(σ)分别表示第一类和第二类Chebyshev多项式.构造有限维空间:接下来的两个命题将讨论QN和PN在Sobolev空间范数下的逼近性质. 命题0.4 1.PN是H1/2[-1,1]空间中的一个闭子空间. 2.P∞=UNPN在H1/2[-1,1]中稠密. 命题0.5[52] 1.QN是H-1/2[-1,1]空间中的一个闭子空间. 2.Q∞=(?)QN在H-1/2[-1,1]中稠密. 考虑用φN这种第一类Chebyshev多项式的线性组合来近似μ问题(11)的离散化问题为:找到一个φN∈QN且满足f-11φN(σ)|y(σ)|dσ=0,使得其中·,·表示H1/2(Γ)和H-1/2(Γ)的偶对. 定理0.6变分问题(12)有唯一解,且满足估计: 利用Chebyshev多项式的一些特殊性质,离散的变分问题的计算可以适当简化.变分问题可以重新表述为:寻找cn,n=1,…,N,使得由[72],那么(13)变为 如果|y(s)|≠常数,则M=N-2.(14)可以用第一类Guass-Chebyshev求积公式计算得到,利用第一类Guass-Chebyshev求积公式和Chebyshev多项式的一些特殊性质,(15)中的第一个积分 如果|y(s)|=B,B为常数,则M=N-1.由QN的定义,我们有 如果用I表示(15)中的第一项产生的刚度矩阵,那么在第二种情况下,I是一个对角矩阵. 下面考虑(15)中的第二项的计算.第二项产生的刚度矩阵用A={aij}(M+1)×N表示,A中的元素 因此,(15)的刚度矩阵是I+A.(15)中的第三项的近似计算公式 最后,我们就会得到一个关于{c1,c2,…,cN}的线性代数方程组,进而求出这些系数. 然后,重构单层位势w[μ]和角位势v[μ](x):这样我们就可以计算出近似的电位势u, 虽然角位势可以在一定条件下被表示成一个双层位势,但是这种表示方式和角位势的定义相比距Γ较近时有更强的奇性.所以重构角位势时,我们选择从定义的角度做离散.为了验证我们的方法的有效性,本文还列举了一些特殊情况下的数值算例,通过计算结果和精确解还有[73]中的方法得到的结果作比较来验证方法的准确性和可行性. Ⅱ.开弧外散射问题的一种数值方法 给定一个开弧Γ (?)R2,弧的两个端点为P,Q.用Γ+表示弧的一侧,Γ表示弧的另一侧.n+表示指向Γ的法向量,它的反方向用n+表示.给定入射平面波ui(x)=ui(r,θ)=eikx·d,其中波数k∈R+,入射方向为d,声硬弧散射问题就是求总波场v(x)=ui(x)+us(x)满足在R2\Γ内,(22)在Γ±上,(23)当r=|x|→∞.(24) 在(23)中, 由于ui是一个整函数解,那么us满足下面的方程:在R2\Γ内,(26)在Γ±上,(27) 对于ρ0,定义和R0是一个实数且满足Γ在BR0。内的部分可以近似的看成是一条直线段,其中i=P,Q且R0π/3k.令Rmin(1,R0).以Γ的每个端点i为极点作极坐标系(ri,θi),使得θi=0与BR0i。中的Γ重合. 命题0.7{cosn/2θ}n=0∞是L2(0,2π)的正交基. 由分离变量法出发,BR0i\Γ中的总场v(x)有如下表达式:其中Jγ(z)是γ阶的第一类Bessel函数. 命题0.8如果γ0,R0π/3k,0rR0,其中M是一个不依赖γ的常数. 命题0.9如果an,bn≥0,则 命题0.10在命题0.8的条件下,如果rR0,其中K是一个与n无关的常数. 定理0.11如果u是问题(22)-(24)的解,则当(ri,θi)∈BR0,i=P,Q时,令在命题0.8的条件下,我们可以得到v≥1,C是一个不依赖v的常数,κ是一个仅依赖于R和R0的正的常数. 把Γ用一个圆BR={x∈R2:|x|R}包裹起来.定义ΩR=BR\Γ.我们在区域ΩR的外面加上一个PML层ΩPML={x∈R2:R|x|ρ}.令用α(r)=1+iσ(r)表示模拟介质的性质,它满足用r表示复极径, Ωρ=Bρ\Γ中PML问题的解u就是下面方程组的解在Ωρ内,在Γ±上,(36)u=0,在Γρ上,其中A=A(x)是一个矩阵,在极坐标下满足,问题(36)是问题(26)-(28)的近似. a:H1(Ωρ)×H1((Ωρ)→C满足则(36)的变分问题是:找到u∈HE1(Ωρ)满足其中表示L2(Γ)的内积. 下面我们作出如下假设:其中σ00,m1.令 令u=u+ui.问题(36)等价于下面的方程组在Ωρ内,(40)在Γ±上,(41)u=ui,在Γρ上,(42)其中很容易可以看出在BR中f=0.令U=u-uiΦ,其中Φ∈C∞(Ωρ)满足Φ=1,在Γρ上,Φ=0,在BR内.则U是下面方程组的解,在Ωρ内,(43)(?)U/(?)n±=0,在Γ±上,(44)U=0,在Γρ上,(45)其中很显然,ΩR中g=0.(43)-(45)的变分问题是找到U∈HE1(Ωρ),使得我们引入两个算子M:HE1(Ωρ)→H1(Ωρ)和N:HE1(Ωρ)→H1(Ωρ):其中u,v∈HE1(Ωρ).则问题(43)-(45)等价于找到U∈HE1(Ωρ)使得因为U=u-uiΦ,则u满足其中F是H1(Ωρ)中的一个函数. 命题0.12除去可数多个k之外,问题(40)-(42)在u∈H1(Ωρ)中有唯一的解. 令是H1(Ωρe)中SRj的迹算子.定义其中因此,V(?)H1(Ωρ),而且||u||v=||u||1,Ωρ.那么,显然u|Ωρe可以唯一决定u∈V 定理0.131V是H1(Ωρ)的一个闭子空间.定义对(49)的左右两边都乘以Π,则除了可数多个k,(49)和(50)有相同的解. 令Fh={Kih}表示区域Ωρe的正规三角剖分,其中h=maxdiam{Kih}.如果Kih∩(BRP∪BRQ)=(?),则Kih是三角形.如果是曲边三角形,其中曲边是SRQ或SRP的一部分.令Gih是一个足够光滑的一对一映射,它把Kih映为一个标准三角形定义其中的函数u满足u|KihO(Gih)-1是一个次数≤p的多项式. 网格Fh在SRi上产生了两部分网格:在SRi上其中i=只Q.定义为FRh,i上的节点.由此可以产生两个(0,2π)上关于θ的剖分定义Xp△θ,i(0,2π)(?)H1(0,2π),其中的函数u满足u|K△θ,i是一个关于θ的次数≤p的多项式.我们定义一个插值算子Πθi满足Πθi(u|SRi)∈Xp△θ,i(0,2π). 对于v∈Hv(0,2π),有其中v1,0≤t≤1,p≥1.令其中i=P或Q.此外定义定义其中Nρ,jh是Γρ上Fh的节点.定义问题(40)-(42)的离散变分问题是:找到满足可以看出XH,Rh,p在V中是终归稠密的.除去可数多个k外,(55)有唯一的解. 定理0.14u∈H1(Ωρ)是问题(40)-(42)的解,则如果我们有 定理0.15除去可数多个k,(55)有唯一的解uh,N,R.如果N,p足够大,在定理0.14的条件下, 本方法可以平行推广到声软问题中,即Neumann边界条件的情况.


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