具p-Laplace算子的椭圆和抛物方程解的研究

【摘要】：本文主要研究具p-Laplace算子的非线性椭圆和抛物型方程解的性质,包括弱解的存在性、唯一性、正则性、有限时刻爆破和熄灭等.全文共分为四章. 在第一章中,我们首先介绍了本文所研究问题的背景和国内外的研究状况；然后阐述了我们所要讨论的问题及使用的方法. 第二章中,我们主要研究下面非线性退化抛物问题其中Ω(?)RN(N≥1)是有界区域,0T∞,QT=Ω(0,T],ΓT表示QT的抛物边界,a(x,t,u)=|u|σ(x,t)+d0假设d0是正常数,源函数f(x,t,u)满足f(x,t,u)=b(x,t)-b0u(x,t),u∈(-∞,+∞),x∈Ω,t0,(2)且b00,b(x,t)≥0,(x,t)∈QT我们假设指数p(x,t),σ(x,t)在Q=QT上满足下面条件 其中 上面方程可以用来描述图像恢复在时间和空间上的一些性质.特别是在源函数f(x,u)=b(x,t)-b0u时,函数u(x,t),b(x,t)分别表示它的恢复图像和噪声图像.由于非线性项α(u)|▽u|p(x,t)2▽u中系数a(u)可能无上界,这给我们的研究带来了一些困难.因此为了克服这个困难,我们结合Galerkin逼近技术和抛物正则化方法证明了上述问题解的存在性.我们不仅在条件下获得了解的存在唯一性；在σ(x,t)∈(1,2),1pp+≤1+√2的情况下我们得到了同样的结果.此外,我们运用能量估计和Gronwall不等式对于p和p+属于不同的区间的情况得到了解的熄灭性质,对于变指数问题这样的结果是不多的.最后,我们利用凸分析中的一些技巧证明了该问题解的长时间渐近性质.我们的主要结果如下定理1.假设函数f(x,t,u),指数p(x,t),σ(x,t)满足条件(2)-(5),并且下面条件成立 那么,问题(1)至少存在一个弱解u满足||u||∞,QT≤||u0||∞,Ω. 定理2.假设定理(1)的条件和下面条件成立 那么,问题(1)的非负有界解是唯一的. 定理3.假设定理(1)的条件和下面的条件成立 那么,问题(1)的非负解是唯一的. 定理4.假设函数f(x,t,u),指数p(x,t),(?)(x,t)(?)满足条件那么,问题(1)的非负有界解在有限时刻熄灭,且满足下面的估计其中C1是正常数. 定理5.假设函数f(x,t,u),指数p(x,t),(?)(x,t)满足条件那么,问题(1)的非负有界解在有限时刻熄灭,且满足下面的估计 其中C2是正常数. 定理6.假设函数f(x,t,u),指数p(x,t),(?)(x,t)(?)满足条件(2)-(5),b(x,t)三0,2≤pp+,并且下面条件成立其中g(t)满足 那么,对任意的0σ,问题(1)的解具有下面的渐近性质 第三章中,我们主要研究下面非线性退化抛物问题： 这里Ω (?)RN(N≥1)是有界Lipschitz区域,0T∞.QT=Ω×(0,T],ΓT表示QT的抛物边界,(?)(x,t,▽u)=b(x,t)▽u描述质量的扩散,函数f是满足下面条件的连续函数|f(s)|≤α0|s|q(x,t)1,0α0=C.(7)这里指数q(x,t)同p(x,t)在Q=QT上满足相同的条件(4),(5). 这个问题的难点在于(?)(x,t,u)=b(x,t)▽u中系数b(x,t)的可积性.上述问题是否存在解严重依赖于指数p(x,t)与2的大小关系和b(x,t)的可积性.在这章中,我们通过构造合适的解空间,利用Galerkin逼近技术将所研究的问题转化成ODE问题,进而利用Peano's定理得到了ODE问题解的存在性.进一步利用插值不等式、嵌入定理以及修改的Gronwall不等式获得了逼近解的先验估计.最后利用弱收敛方法证明了解的存在性.其次,通过选取合适的检验函数,证明了解的唯一性.在这一章的最后,我们利用能量估计法和构造合适的泛函证明了该问题在初始能量为负时整体解的不存在性.下面给出我们的主要结果. 定理7.假设连续函数f(s)满足条件(7),指数p(x,t)和q(x,t)满足条件(4)(5).如果下列条件成立那么问题(6)至少有一个弱解. 定理8.假设定理(7)的条件都满足,b(x,t)≥0,如果下列条件中有一个成立, (Ⅱ8) f(s)∈C1(R)； (H9)函数f(s)是单调递减的,s∈R.那么问题(6)的有界解是唯一的. 为了叙说方便,我们先给出两个条件.函数f(s)和系数b(x,t)满足下面条件B(x,t)≥0,bt(x,t)≤0,(?)(x,t)∈QT；(8) f(u)∈C(R),f(u)u-p|G(u)≥0,(?)u∈R,(9) 其中G(u)=(?)u0f(s)ds.对于指数p(x,t)(?)(x)的情形,我们有下面的结果. 定理9.对任意T0,假设u∈H(QT)满足定理(7)的条件.若(8)(9)成立并且u0∈W1,p10(Ω),p+2使得下面关系成立那么存在T*∈(0,T]使得 对于指数p依赖时间t的情形,我们有下面的结果. 定理10.对任意T0,假设u∈H(QT)满足定理(7)的条件.若(8)(9)成立并且u0∈W1,p|0(Ω),p+2,pt≤0使得下面关系成立那么存在T*∈(0,T]使得 在第四章中,我们研究下面拟线性椭圆方程解的存在性和正则性 其中Ω是RN(N≥1)中具有光滑边界(?)Ω的有界开区域..f≥0,f(?)0,f∈L1(Ω),p1,α0. 这个方程可以描述许多物理现象,如非牛顿流体的扩散,化学异构催化剂,非线性热方程等.在本文中,我们分别根据α=1,1和0α1不同情况讨论了解的性质.首先,我们应用正则化方法和Leray-Schauder不动点定理以及必要的紧性,克服了非线性微分算子和奇异的非线性条件给我们带来的困难,得到了解的存在性.并且,通过构造合理的迭代序列得到了解的最大模估计.我们的主要结果如下 定理11.假设α=1,f∈L1(Ω)(f(?)0)是一个非负函数.那么问题(12)有一个解u∈W1,p0(Ω)满足下面关系式此外,假设fκLm(m≥1),那么问题(12)的解u具有下面的性质 定理12.假设0α1,f是Lm(Ω)(f(?)0)中的一个非负函数,其中m≥m*1.那么问题(12)有一个解u∈V10,p(Ω)满足此外,问题(12)的解u具有下面性质(i)如果那么(ii)如果那么 定理13.假设0α1,f∈Lm(Ω),1≤mm*,并且下面的假设成立 那么,对任意的存在弱解u∈W1,q(Ω)满足 定理14.假设α1,f是L1(Ω)(f≠0)中一个非负函数.那么,问题(12)有一个解满足此外,假设f∈Lm(m≥1).那么问题(12)的解u具有下面性质 定理15.若1α2,f(x)∈L∞(Ω),那么问题(12)在空间W01,p(Ω)中存在唯一的正解. 定理16.若那么问题(12)的在空间W01,p(Ω)中不存在解,其中中是下面问题 第一特征λ值对应的特征函数.