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几类SIR模型和吊桥模型的周期解

王琳  
【摘要】:在现实世界中,周期运动是普遍存在的,人们对常微分方程周期解的研究长期以来都是动力系统领域最重要的课题之一.这是因为常微分方程的周期解不仅可以表征一些具有周期性的运动,也可以近似地刻画一些非周期性运动,具有广泛的生物、物理背景.本篇博士论文研究了几类受季节驱动的SIR模型和带有周期阻尼项的吊桥模型的周期性.全文共分为四章: 在第一章中,我们介绍了SIR传染病模型的起源和发展,并重点介绍了受季节驱动的SIR模型、带有脉冲预防接种策略的SIR模型以及受媒体报道影响的SIR模型.另外,我们也介绍了带有周期阻尼项的吊桥模型.在这一章中,我们列出了本文用到的基本概念和重要定理,并详细给出了本文的主要结果. 在第二章中,我们研究了在脉冲预防接种策略作用下受季节驱动的SIR模型:其中这里我们把易感染人群分为多个群组,对其中k个群组分别接种疫苗,脉冲策略表示为:其中0≤pi1,且α0足够大.记模型(0.0.1)的基本再生数为其中当R01时,G. Katriel [58]应用Leray-Schauder度理论,在pi≡0的情形下,证明了系统(0.0.1)周期解的存在性.在这一章中,我们应用Gaines-Mawhin的连续性定理,在pi≥0的情形下,证明了系统(0.0.1)周期解的存在性.此外,我们给出系统(0.0.1)相应的数值模拟来说明脉冲预防接种策略的有效性.在第三章中,我们考虑在媒体报道影响下受季节驱动的SIR模型:通常来讲,当染病者人数达到一定数量水平时,媒体报道,信息处理以及个人对于信息的提醒反应会开始产生作用.我们用递减的逐段光滑函数f(I)描述媒体报道对传播系数的影响,其表达式为:其中α表示影响因子,σ是小参数,Ic是临界水平值. 记R0为其中当β(t)≡β时,Wang和xiao[102]用不连续的传播率函数描述媒体报道对传染病流行的影响.当σ足够小时,我们考虑的式(0.0.3)中的f(I)是对不连续系统的一个近似.当f(I)≡1时,G.Katriel[58]通过Leray-Schauder度理论,得到了受季节驱动的SIR模型正周期解的存在性,他们的方法不能直接处理右端是非光滑的情形.在本章中,我们通过构造等价积分方程,应用Leray-Schauder度理论,证明了当R00eα时,系统(0.0.2)-(0.0.3)正周期解的存在性.此外,我们给出系统(0.0.2)-(0.0.3)相应的数值模拟来说明媒体报道对传染病流行的影响. 在第四章中,我们讨论了带有小周期阻尼项的吊桥模型:Utt+p(t)Ut)+cUxxxx+dU=h(t,x),(0.0.4)满足边值条件U(0,t)=U(L,t)=Uxx(0,t)=Uxx(L,t)=0,(0.0.5)其中阻尼项系数p(t)为27π-周期函数,h(t,x)=(sin π/L)f(t)为27r-周期外力.为找到系统(0.0.4)和(0.0.5)的一个驻波解,我们假设U(t,x)=(sin π/L)u(t),从而导出等价的常微分方程:u"+p(t)u'+bu+-αu-=f(t),(0.0.6)其中α=c(π/L)4,6=d+c(π/L)4. 具有变系数阻尼项常微分方程解的性质一直以来是微分方程领域研究的难点.Li[123]通过一种巧妙的方法得到了变系数非线性两点边值问题解得存在唯一性.最近,Zu[124]把这种方法推广到了周期情形.当方程(0.0.6)满足Dolph-型条件和一个小周期阻尼项条件,通过类似的方法,我们证明了方程(0.0.6)周期解的存在性和唯一性.我们的构造性方法可以有效地处理这类非光滑问题.此外,我们给出方程(0.0.6)相应的数值模拟来说明周期阻尼项对吊桥模型的影响.通过数值模拟,我们知道小周期阻尼项的影响是有限的.


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