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《吉林大学》 2015年
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若干随机微分方程的稳定性问题

张玉天  
【摘要】:科学和工业系统在许多分支往往受到各种类型的噪声和不确定性的影响.我们通常使用Brown运动的随机属性来描述这些影响.从而发展出由Brown运动驱动的随机微分方程.这个方程是日本数学家K.Ito在1949年第一次定义出来的,就是我们熟知的Ito随机积分.形如:dx(t)= μx(t)dt+σx(t)dB(t).积分形式为随机微分方程的理论发展的很迅速.在过去的一个世纪,Lyapunov第二方法亦有重要发展,并且对现代动力系统的稳定性的发展有着重要影响.自然的,Lya-punov第二方法被很多人用于处理随机稳定性.对于随机微分方程的Lyapunov第二方法详细的阐述也有很多,并发展出了许多新概念,其中比如LaSalle不变原理,Razumikhin定理以及其他比较重要的工作.尽管这种随机微分方程有许多明显的优势,但一些基于Brown扩散的模型也不能对很多动力系统过程提供充分的描述.为了捕捉一些相对具有异常属性的物理系统,许多物理学家和数学家建立了一些不同种类的数学模型:分数阶动力方程,分数阶Fokker-Planck方程,分数阶Brown运动,广义Langevin方程,跳扩散模型,从属Langevin方程,以及一些研究混合切换扩散的模型(带有Markov切换的随机微分方程),通过随机切换状态来满足一些现实情况的描述.本文主要研究了两个问题.一个是分数阶Fokker-Planck方程的随机稳定性问题;另一个是带有Markov切换的随机微分方程的稳定性问题.本文的创新点如下:1.近来,Magdziarz和Lv等得到在分数阶Fokker-Planck方程上的随机过程是由逆a-stable从属子和Brown运动驱动的.在本文中,我们得到了逆a-stable从属子和Brown运动驱动的随机过程的Ito-Doeblin方程.Ito-Doeblin方程包含链锁法则.分数阶Fokker-Planck方程的Ito-Doeblin方程如下:定理0.0.1假设x(·)有一随机微分dx= FdSα+GdB (Sα), F ∈ L1(0, T), G ∈ L2(0, T).假设u:R×[0,T]→R是连续的,并且(?)u/(?)t,(?)u/(?)x,(?)2u/(?)(?)2存在且连续.设y(t):=u(x(t),t).则Y有随机微分并给予证明.然后分别给出了一些逆a-stable从属子的性质以及随机稳定性和随机渐近稳定性的定义.进而用我们的Ito-Doeblin方程去研究了分数阶Fokker-Planck方程的随机稳定的定理:定理0.0.2若存在一个正定函数V(x(t))∈C2(Sl)使得对于所有x(t)∈Sl,则方程的平衡解是随机稳定的.接下来,给出分数阶Fokker-Planck方程的随机渐近稳定的定理:定理0.0.3若存在一个正定函数V(x(t))且其中λ0,则方程的平衡解是渐近稳定的.并分别给予了证明.最后给出了一个相关例子.2.我们给出了一些基本定义和Lyapunov函数;然后介绍了用Lyapunov第二方法证明的带有Markov切换的随机微分方程的指数稳定性问题;随后给出了有Markov切换的随机微分方程的LaSalle型稳定的定理:定理0.0.4保持条件3..1..1成立.设函数V(x,t,i)∈C2,1(Rn×R+×M;R).函数且一连续函数ω:Rn→R+使得且LV(x, t, i)≤ F(t, V(x, t, i))-ω(x).对于各初值x0∈Rn且r(0)= i0 ∈ M;a(t)≤ FV≤A(t),F(t,0)≤ b(t),且有P2使得则,对于每一个xo ∈ Rn, limt→∞ V (x(x0,t, io),t,i)存在且是有限几乎必然的,并且并给予证明.最后给出了一个相关的例子.
【学位授予单位】:吉林大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2015
【分类号】:O211.63

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