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《吉林大学》 2017年
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有限长和无限长收缩管道内的连续亚音速一音速流

周鸣君  
【摘要】:本文旨在研究二维有限长和无限长对称收缩管道内的连续亚音速—音速流.流体在管道壁上满足滑动条件,且当管道有限长时,流体沿入口曲线的法向进入管道.我们还要求出口曲线为音速线,且过上管壁上的固定点.所研究的问题可描述为有界或无界区域上以音速线为自由边界的具有非局部边界条件的非线性退化椭圆型方程自由边界问题,而且退化发生在自由边界上.我们证明了当管道竖直截口长度的变化率足够小时,管道内连续亚音速一音速流存在且唯一,流体的速率是Ho1der连续的且流体在音速线上是奇异的,即在音速线上其速率是C1/2-Holder连续的而其加速度爆破.我们还确定了连续亚音速—音速流收敛到音速状态的精确收敛速率与管道壁几何性质之间的关系.因为管道是对称的,所以我们只需考虑管道位于对称轴上方的部分.本论文分为两部分.第一部分为绪论,主要介绍各类可压流体问题的相关历史和研究现状,以及本文的工作和结构安排.例如一维非定常多方气体Euler方程组的重要结论,与本文所研究的管道内连续亚音速—音速流相关的问题的研究成果,以及有激波或无激波的超音速流和跨音速流的研究进展,等等.第二部分为论文的主体部分,分为以下三章:在第一章中,我们研究有限长收缩管道内的连续亚音速—音速流,而且是在只要求管道壁在出口端严格收缩的较弱条件下.在存在性定理的证明中,我们需先研究入口速率和上管壁速率给定时的固定边界退化椭圆型方程边值问题.由于取消了对上管壁对应函数的二阶导数的限制,固定边界问题的上下解很难构造.这迫使我们先就出口速率是足够小亚音速时给予解的存在性证明,再通过管道内流体平均速率的估计证明出口处速率可以达到音速,从而得到固定边界问题解的存在性.然后,我们通过选取合适的函数空间,利用Schauder不动点定理证明连续亚音速—音速流问题解的存在性.解的正则性由Harnack不等式推得.通过选取合适的坐标,我们利用能量估计的方法证明了连续亚音速—音速流问题解的唯一性.在第二章中,我们考虑充分远处水平而出口端严格收缩的特殊无限长管道内连续亚音速—音速流.该问题在位势平面上是无界区域上的定解问题.我们先证明有界区域上截断问题存在唯一解,并得到一些正则性估计.对截断问题的解取极限,在局部一致收敛意义下得到无限长收缩管道内连续亚音速—音速流问题的解.值得注意的是,我们需要借助管道壁的几何性质取得不依赖于截断管道长度的正常数,使得当管道竖直截口变化率小于该常数时,截断问题都存在唯一解.解的正则性可用Harnack不等式证明.我们还研究流体的速率的渐近行为.通过对问题在充分远处的一段进行伸缩变换和周期延拓,并利用Harmack不等式,我们得到了流体的速率关于位势和流函数偏导数的渐近行为,并由此得到流体在充分远处是一致亚音速的,继而得到流体的质量通量与无穷远处流体速率极限和管道竖直截口长度极限的关系.结合合适的坐标选取,通过细致的能量估计,我们证明了管道内满足这种渐近行为的连续亚音速一音速流的唯一性.在最后一章中,我们利用充分远处水平的无限长管道逼近的办法,处理无穷远处的极限水平而出口端收缩的一般无限长管道内的连续亚音速—音速流.利用管道壁的几何性质,我们对流体速率关于流函数偏导数作了更加细致的估计,取到一个不依赖于逼近管道的正常数,使得当管道竖直截口变化率小于该常数时,逼近问题都存在唯一解.对逼近问题的解取极限,在局部一致收敛意义下得到一般无限长管道对应问题的解的存在性.解的正则性可用Harmack不等式证明.在流体速率的渐近行为研究中,我们仍需要对问题在充分远处的一段进行伸缩变换和周期延拓.但此时问题在上管壁上不满足齐次Neumann条件,所以我们需要引入适当的变换将管道壁上的边界条件都转化为齐次Neumann条件.变换后的方程虽然是有源的非齐次方程,但是管道壁的几何性质保证了源项在伸缩和延拓后依然有较好的性质.这样,利用第二章中的方法便可以得到流体速率关于位势和流函数偏导数的渐近行为,继而证明了流体在无穷远处是一致亚音速的,流体的质量通量与无穷远处流体速率极限和管道竖直截口长度极限的关系,以及管道内满足这种渐近行为的连续亚音速—音速流的唯一性。
【学位授予单位】:吉林大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2017
【分类号】:O354

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1 周鸣君;有限长和无限长收缩管道内的连续亚音速一音速流[D];吉林大学;2017年
2 聂元元;收缩管道中的连续亚音速—音速流的扰动问题[D];吉林大学;2014年
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