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《吉林大学》 2017年
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随机波动率模型下的计时期权定价问题

张继超  
【摘要】:在金融市场中,波动率衍生品一般是基于波动率直接产生的金融产品,例如ⅤⅨ期权,方差互换,波动率互换等.计时期权作为一种创新型波动率金融衍生品在金融市场中出现较晚.2007年,法国兴业银行(Societe Generale)的投资部首先推出认购计时期权并开始在金融市场中交易.计时期权的一个特点是投资者可以通过预判股价或指数未来的波动趋势进而设定关于累积波动率的阈值,在预先设定的阈值下利用波动率衍生品进行金融市场对冲等金融交易活动.另一特点是计时期权的定价问题需要确定停时和波动率的联合分布,因为当实际波动率累积达到预先设定水平值时,期权持有者执行期权,因此执行时间是个随机变量.与传统的欧式、美式期权等基础衍生品相比,计时期权提供了一种更为有效、更为纯粹的控制标的资产风险暴露的方法.因此,计时期权产品不仅可以作为一种获取标的资产收益的重要方法,同时也是控制标的资产的波动率风险的有效工具之一.在本论文中,我们考虑Hull-White模型下计时期权的定价问题,解决此问题的关键为在求解析解过程中确定高维随机变量的联合概率密度函数.目前关于一些特殊的奇异期权,如障碍期权、亚式期权等可以找到定价核或者转移概率,而在我们考虑的问题中,由于模型的复杂性给计时期权定价求解带来了一定难度.在期权定价问题中,经典的Black-Scholes公式给出了标准欧式认购期权的价格如下:其中标的资产价格S服从几何布朗运动,N为标准正态分布的累积分布函数,本文我们利用Hull-White模型来刻画标的资产价格及其随机波动率过程,即在风险中性概率测度Q下,假设标的资产价格St及其方差过程vt满足如下的随机微分方程其中r为无风险利率,k为方差过程的风险收益率,σ是方差过程的波动率,WtS与Wtv为两个相关系数为ρ的标准布朗运动.第三章中,我们针对上述模型,以经典的Black-Scholes-Merton型定价公式为基础,利用二维的Feynman-Kac定理,通过时间变换技术将模型转换为标准的Bessel过程,根据Bessel过程的相关性质,利用修正Bessel函数从概率方法出发给出永久式计时期权解析形式的定价公式.为此,我们首先给出关于计时期权定价的相关变量,累积实际方差停时τB和累积实际方差量It,命题1 设x=lnS.则永久计时期权的价格函数满足下面偏微分方程,定理1 考虑二维随机微分方程,假设U(I,x,v)满足(0.0.2)且具有边界条件U(B,x,v)=h(x),则永久计时期权的期权价格函数U(I,x,v∈ C1,2,2可以表示为如下形式其中根据定理1,我们利用时间变换技术转换模型由x和v转化为X和z的随机过程,进一步得到下面的定理结果.定理2 假设则关于永久认购计时期权有下面的条件Black-Scholes-Merton型定价公式进一步假设pzB,(?)B,τB(z,h,g)是关于(zB,(?)B,τB)的联合密度函数,则与之前的方法相比,我们找到了拉普拉斯变换下三维变量的联合密度函数,利用拉普拉斯逆变换我们得到带有随机波动率的闭型解析公式,而闭型解有很多优点尤其是在计算效率方面具有优势.我们在这一章中,还给出一类特殊期权的定价公式,我们考虑在T执行时刻具有支付函数其中Ⅱ为示性函数.则在初始时刻的期权价格函数U其中利用Bessel过程的相关性质得到联合密度函数且其中推论1假设对数化的标的资产价格x和随机波动率v满足Hull-White随机波动率模型,期权的支付函数为U(T)=(ST-K)+ⅡτBT.则一类特殊的期权价格函数U有条件期望展式(0.0.6),且联合密度函数为(0.0.7)式.从上面的求解过程和定价公式来看,利用Bessel过程给出的定价公式可有效应对连续时间条件下随机波动率下的期权定价问题.在第三章的数值实验部分,通过对联合密度函数的参数分析,得到Hull-White模型下计时期权的解析公式特别地适用波动率的波动较小的市场状态.为了进一步研究,考虑交割时刻为τB∧T的一般情形,在第三章中Bessel过程的性质是我们得到永久计时期权闭型解析解的关键,但此时求解问题增加了难度,所以在第四章,我们从量子力学角度出发,在路径积分框架下,利用薛定谔(Schrodinger)方程,在新的角度下求解一般情形的计时期权的定价问题,同时也给出路径积分方法下的永久计时期权的解析定价公式.由Schrodinger方程得到关于z的Langrange函数引理1在[0,B]区间,对 进行指数积分,则存在λ0,使得P(zB,τB|z0,0)有下面表示根据上述引理1,我们得到转移概率其中g(u;B)为g((?)∈du)的Laplce逆变换,Mm,n(x)是Kummer函数.则另外有其中同理我们也可得到T为执行时刻的U2的表达式,首先利用变量代换从xT,vT变量变换到XT,ξT.然后利用Feynman路径积分方法有ξ的Langrange函数引理2在[0,T]区间,对L[ξ,ξ]进行指数积分,则根据上述引理2,我们得到转移概率其中其中Dμ+1是柱形抛物函数.则定理3假设期权的执行时间为τB∧T,执行时刻的期权价格为U(τB∧T,xτB∧T)=max(exτB∧T-K,0),则在t=0时刻的期权价格函数其中U1有(0.0.11)展开式其转移概率为(0.0.9)和U2有(0.0.15)展开式其转移概率为(0.0.14),且P(τT)和P(τBT)可由(0.0.12)得到.定理4在Hull-White模型下,假设执行价格为K,方差预算为B,则永久认购计时期权价格为其中且转移概率P(zB,τB|z0,0)为引理1,g(u;B)由(0.0.10)得到.
【学位授予单位】:吉林大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2017
【分类号】:F224;F830.9

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