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《吉林大学》 2017年
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几类数值求积公式的构建及其智能算法应用研究

张军  
【摘要】:随着数值计算理论方法的不断深入研究和计算机技术的快速发展,计算机算法理论在科学计算中发挥着越来越重要的作用。其中众多基于应用问题的数学模型求解中都需要计算积分值,如计算机领域求解积分的应用包括图像处理、网络覆盖连接问题、PIN控制器、连续仿真系统、无网格数值模拟系统等,因为这些实际应用问题的被积函数的原函数表达式复杂、或原函数解析表达式无法获得、或被积函数只是实验测得到的一组离散数据等问题,所以这类可积函数积分值通常采用数值积分法来近似计算,其中的近似值计算公式称为数值积分求积公式,近几个世纪以来,尤其是十六世纪后,众多学者提出了多种数值积分法,经典的数值积分法有梯形求积公式及其复化求积公式、抛物线求积公式及其复化求积公式、牛顿-科特斯型积分方法和高斯型求积公式等。实际上,牛顿-科特斯型数值积分法和高斯型数值积分法由于计算量较大,在实际应用中具有一定的局限性。当前,随着各行各业的业务快速发展,在实际问题的数值积分计算过程中,被积分函数的原函数表达式变得越来越多样而复杂,而经典求积公式均未涉及到积分被积函数几乎处处可微且不可微点均为第一类间断点条件下的求积公式求解问题,也未涉及此条件下被积函数为高阶可微的积分求积公式及相关智能算法的应用研究问题。而众多实际工作者往往忽略被积函数的这些特殊条件而盲目错误地使用已有的求积公式。因此,有必要进一步探究新的数值积分方法,这也是当前该领域的重要研究课题之一。本文主要研究内容及创新点如下:首先,针对现行教材专著中梯形和抛物线求积公式以独立表示形式出现以及其误差估计分别要求被积函数的二阶和四阶导函数存在,且最近相关文献研究的被积函数在积分区间内至多有限个点外有连续的一阶导数的限制条件,本文构建了经典梯形求积公式和抛物线求积公式的统一格式及其复化求积公式,且在导数几乎处处存在,不可微点均为第一类间断点条件下,研究了统一格式的误差估计,其既放宽了限制条件又使独立的表示形式得以统一,进而更加满足实际工作需要。其次,为了提高不同类型积分近似值的估计精度,根据经典复化梯形求积公式的中间项系数为2的特点,本文构建了与复化梯形求积公式同系列的中间项系数分别是1,3,4的3类复化求积公式,且在被积函数几乎处处可微且不可微点均为第一类间断点的条件下,逐一进行了误差估计。经过比较分析可知其计算量与复化梯形求积公式等同,且新建复化求积公式有时具有精度高的优点。再次,众多实际应用问题的数学模型的解积分被积函数为高阶可微函数,此时仍用经典求积公式来计算积分近似值,或不能充分发挥被积函数的良好性质、或有可能导致增加计算量、或降低估计精度,从而有必要探究被积函数高阶可微条件下的求积公式的构建问题。为此本文在被积函数高阶可微的条件下,构建了 2个新的求积公式及其3个复化求积公式,并在被积函数为m-1阶可微(m≥2),且f(m)(x)满足几乎处处可微,不可微点均为第一类间断点的条件下,进行了误差估计。经分析比较发现,这类求积公式在区间内高阶导函数值不大时,具有较高的估计精度,这一研究有着十分重要的理论意义和广泛的使用价值。本文还定义了一类广义凸函数:m-ε-凸函数和(m,α)-ε 凸函数的概念,同时研究了若干个广义凸函数在新建复化求积公式误差估计中的应用问题,并通过仿真实例说明了凸函数在误差估计中的优越性。最后,为了进一步提高积分近似值的精度问题,针对非等距积分复化求积公式的特点即非等距区间的随机性问题,本文先对非等距区间进行优化选择,这类优化问题常常采用智能算法来解决,文中先采用智能算法:如遗传算法、人工鱼子群算法、粒子群算法进行优化非等距区间,然后再应用新构建的积分复化求积公式进行计算,经仿真实验,最终结果验证了智能算法在求积公式求解中的应用是行之有效的方法。寻求更好的智能方法实现数值积分算法是一个当前该领域重要的研究方向,且具有良好的应用前景。本文新构建各类积分公式及基于智能方法的数值积分算法都通过MATLAB R2016b编程仿真实现,运算结果包括梯形和抛物线求积公式的统一格式的复化求积公式、复化梯形求积公式同系列的3个复化求积公式和被积函数高阶可微的3个复化求积公式的案例,其中部分求积公式较经典积分公式值精度更高;基于智能方法的数值积分算法在区间划分数量相同的条件下较等距求积公式方法提高了运算效率及精度。
【学位授予单位】:吉林大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2017
【分类号】:TP18;O241

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