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复杂网络上传染病动力学模型分析及最优控制和随机扰动

魏晓丹  
【摘要】:2001年,Pastor-Satorras和Vespignani在研究网络上计算机病毒传播的过程中发现了无阈值现象,从根本上改变了传统的阈值理论.近二十年来,复杂网络上传播动力学研究取得了很多重要进展.尽管如此,基于复杂网络的传播动力学还远没有发展到成熟的阶段,还有很多问题值得深入研究.传染病在网络上的传播行为与网络结构有密切关系,也可能受到种群的各种行为以及随机干扰等因素的影响.几个值得关注的问题:一是疾病在网络上的传播行为是否能爆发,如果爆发最终是否是全局稳定的;二是疾病在爆发后是否是可控的;三是人们在疾病爆发时的心理反应及有意识行为如何影响疾病的传播;四是随机噪声是否能影响疾病在网络上的传播行为.基于这些问题,我们研究了基于复杂网络的传播动力学模型,既包括某些确定性模型,例如具有非线性发生率的动力学模型、具有出生和死亡的动力学模型以及带有隔离项和治疗项的动力学模型,也包括某些随机模型.主要工作概括如下:1.为探究人们在疾病爆发时的心理反应及有意识行为对疾病传播的影响,我们研究了具有非线性发生率的动力学模型.人们在疾病爆发时的心理反应可由发生率中的一个参数来反映,参数的大小在一定意义上反映了人们心理的反应程度.已有结果表明,当传染率小于传播阈值时,疾病最终会灭绝,而当传染率超过传播阈值时,疾病会爆发且在网络上长期存在.数值结果显示,尽管发生率中的参数并不改变传播阈值,但是疾病的传染规模会随着这个参数的增大而下降.然而,现有的文献并没有解决疾病在爆发后是否全局稳定这一重要问题,也没有就参数影响了疾病传播行为这一数值结果进行严格的论证.针对这两个重要问题,本文得到的结果是:(1)当这个参数充分大时,地方病平衡点是全局渐近稳定的,即足够大的参数会使疾病在爆发后保持全局稳定,从而有益于抑制疾病的传播.(2)当这个参数趋于无穷时,最终染病规模趋于零.换言之,疾病传播得越严重,人们就越谨慎,被传染的人数就越少.2.许多描述传染病在复杂网络上传播规律的模型均假设种群总数是固定不变的.然而,当疾病的流行时间较长时,出生和死亡会使种群数量发生变化.基于这个背景,我们进一步研究了复杂网络上具出生和死亡的SIS传播模型的动力学行为.由于种群数量不再是固定的,所以数学分析上会有较大的难度.已有的结果表明,当基本再生数小于1时,疾病不会爆发,而当基本再生数超过1时,疾病爆发且保持局部稳定.然而,一个更重要的问题是疾病在爆发后最终是否会全局稳定.本文构造了一个Lyapunov函数,并结合分析技巧,证明了地方病平衡点是全局渐近稳定的,即疾病在爆发后将会保持全局稳定,从而解决了这一问题.考虑到一些染病者因死亡或者获得免疫而移出以及一些移出者由于失去免疫可能会死亡或转变为易感者的实际情况,本文提出了一个具有一般性的SIRS动力学模型.通过严格的数学分析,求出了模型的基本再生数,并证明了:当基本再生数小于1时,疾病最终会灭绝,而当它大于1时,地方病平衡点是全局渐近稳定的,即疾病会长期存在且形成地方病.需要指出的是:由于方程组是高维的且具有高度的耦合性,所以直接运用Lyapunov方法来证明地方病平衡点的全局渐近稳定性是非常困难的.为克服这个困难,我们首先利用Lyapunov方法证明了该平衡点是局部稳定的,然后运用单调迭代技巧证明了该平衡点是全局吸引的,这样便证明了全局渐近稳定性.这种处理问题的方式具有一般意义.而且,对于无标度网络,当网络规模趋于无穷时,基本再生数趋于无穷,这说明疾病传播不存在阈值.为控制治疗成本以及染病规模,针对每一个模型均提出了一个动态的控制策略.数值算例显示,通过实施最优治疗策略,疾病最终灭绝.3.为探究同时实施隔离和治疗措施对控制疾病在网络上传播的效果,本文提出了一个复杂网络上带有隔离项和治疗项的动力学模型.通过详细的数学分析,求出了模型的基本再生数,并证明了:当基本再生数小于1时,疾病最终会灭绝;当基本再生数大于1时,模型存在唯一且全局渐近稳定的地方病平衡点,即疾病在爆发后最终保持全局稳定.数值算例显示,同时实施隔离措施和治疗措施比仅实施隔离措施更有效.为使治疗代价以及染病者数量达到最小,我们提出了一个把接种、隔离以及治疗作为控制对象的最优混合控制策略.数值算例显示,采用该策略将导致疾病最终灭绝.4.目前基于复杂网络的传播动力学研究几乎没有考虑到随机因素.然而,随机干扰无时不在、无处不在.为探究随机噪声对疾病传播行为的影响,我们研究了一个基于复杂网络的具有出生和死亡的确定性模型在分别施加了三种随机扰动下的动力学行为.第一种是死亡率系数受到扰动的情形,第二种是系统自身受到扰动的情形,第三种是地方病平衡点受到扰动的情形.针对第一种情形,我们首先定义了一个平均意义下的随机持久的概念,然后求出了区分疾病传播与否的阈值,并证明了:当这个阈值小于1时,疾病会依概率1灭绝,而当它大于1时,疾病会依概率1长期存在于网络上.这个阈值不仅比确定性模型的阈值小,而且与噪声强度成反比.针对第二种情形,得到了疾病最终灭绝的充分条件.上述结果表明:当噪声强度足够大时,即使确定性模型的基本再生数大于1,疾病最终也会消亡.这说明随机噪声对疾病的传播行为有实质性影响.针对第三种情形,证明了当疾病爆发时,小扰动会使疾病保持局部稳定.综上所述,影响疾病在网络上传播的因素不仅有网络结构,还包括种群的各种行为、有效的治疗以及无处不在的随机干扰等.采用最优控制策略是控制疾病在网络上传播的一种有效途径.本文的工作丰富了复杂网络上传播动力学的研究内容.此外,由于计算机病毒、舆情以及谣言在网络上的传播行为与传染病有诸多相似之处,所以本文所使用的某些方法也适用于研究这些领域中的某些问题.


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