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《吉林大学》 2018年
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Helmholtz方程边值问题的一种数值解法

马岩  
【摘要】:Helmholtz方程边值问题经常出现在许多科学领域和工程应用中,是在物理学中的电磁辐射、声学和地震学中经常遇到的数学问题.许多文献对Helmholtz方程解的性质已经有广泛研究,求解这一问题有很多种数值方法,如差分法[8,9,11],有限元法[1,2],边界元法[4,7]等.本文主要研究二维单连通区域上Helmholtz方程边值问题,给出一种简单有效的数值方法—Fourier-Bessel方法.该方法在文献[5,10]中用于求解Helmlholtz方程柯西问题,基本思想是基于Fourier-Bessel函数的稠密性,可以通过Fourier-Bessel函数的线性组合逼近边值问题的精确解,从而将问题转化为求解线性组合的系数.然后通过用边界条件建立有关系数的算子方程,由于算子方程是紧的且单的,需要用正则化方法求解,从而求得线性组合的系数,得到Helmholtz方程的近似解.最后通过估计算子最小奇异值的下界,给出数值解的收敛性和稳定性分析.其主要思想如下:设区域D(?)R2为有光滑边界的单连通有界区域.考虑如下边值问题△u + k2u =0,in D,(1)αu/αv+iku = f,on αD(2)其中0为波速,v为αD的单位外法向量,f ∈ L2(αD).定义 Fourier-Bessel 函数 φn(x)(n ∈ Z)为其中极坐标变换(r,θ):x =(r cosθ,r sinθ),常数 MrD =maxx∈D|x|.Fourier-Bessel方法的基本思想为通过线性组合Fourier-Bessel函数φn(x)来逼近边值问题(1)-(2)的解,即其中cn(n ∈ Z)为常数.uN为Helmholtz方程的近似解,我们要求解系数cn(n∈ Z),利用边界条件定义下面算子方程:ANcN = f,on αD,(5)AN:C2N+1→ L2(αD)定义为cN=(c0,c1,c-1,…,cN,c-N)∈C2N+1.由定理2.3可知存在cN*=(c0*,c1*,c-1*,…,cN*,C-N*)T∈C2N+1.我们有ANcN*= fNε,on αD,(8)其中‖fNε-f‖L2(αD)≤C0k2τ-N + ε.由引理2.4可知由(5)定义的算子AN是紧的,求解算子方程是不适定的,考虑下面扰动方程ANcδN = fδ,(9)其中fδ L2(αD)为扰动数据,满足‖f-fδ‖L2(αD)≤δ‖f‖L2(αD),0δ1.对于(9)的正则化解为Fourier-Bessel函数的线性组合其中系数cnα,δ通过解下面的法方程确定αcNα,δ + AN*ANcNα,δ = A*Nfδ.(11)由定理2.7可知存在与N和k无关的正常数C使得其中τ0 =rex/rin.进一步取η1,τ=τ02,τmin =rexmin/rinmax,我们有(1)对于0k ≤ 1,取N = η/ln | lnδ|,选取正则化参数为α = k2δτ0-2N,有其中 λ = ηln τ0.(2)k1,取N =11lnk/2lnτmin+ ηln | lnδ|,选取正则化参数为α = k-1δτ0-2N,有其中 σ = 7/2 + 11lτ0/2lnτmin.本文第一章介绍Helmholtz方程边值问题和正则化方法.第二章是文章的主要部分,介绍求解Helmholtz方程边值问题的Fourier-Bessel方法,基于Fourier-Bessel函数的稠密性,通过线性组合Fourier-Bessel函数来逼近边值问题的精确解,利用边值条件建立有关系数的算子方程,并用正则化求解,然后给出正则化解的收敛性和稳定性分析.第三章数值实验,给出数值算例验证Fourier-Bessel方法求解Helmholtz方程边值问题的有效性和稳定性.第四章给出论本文的结论.
【学位授予单位】:吉林大学
【学位级别】:硕士
【学位授予年份】:2018
【分类号】:O241.8

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