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《吉林大学》 2019年
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几类时滞微分方程的稳定性和分岔

张鑫  
【摘要】:时滞微分方程用于描述既依赖于当前状态也依赖于过去状态的发展系统.在生物数学、物理学以及经济学等领域中,研究具有实际应用背景的时滞微分方程的动力学行为(如平衡点的稳定性、分岔以及混沌等)已经成为了一个热门课题.所以考虑时滞因素对系统的长时间动力学行为的影响具有很强的理论意义和实践意义.本文主要运用时滞微分方程的稳定性理论、分岔理论和中心流形理论等理论,结合正规型方法、第一近似方法和李雅普诺夫第二方法等方法,研究具有确定时滞的捕食模型、ShimizuMorioka模型和竞争合作模型的动力学行为.本文共分四章,第二、三、四章为主要工作.第一章为绪论,综述了时滞微分方程的发展历程、研究现状以及实际应用,重点介绍了时滞微分方程特征方程系数依赖于时滞情形下的特征根分布和时滞微分方程Hopf分岔定理,并阐述本文的主要工作.第二章研究一类具有保护区的三物种确定时滞捕食模型,分析了时滞对该模型动力学性质的影响.在无时滞的情形,正平衡点是全局渐近稳定的.在有时滞的情形,以时滞为分岔参数分析了Hopf分岔的存在性及分岔周期解的稳定性,同时运用软件XPPAUT和DDE-BIFTOOL对时滞模型的混沌现象进行了数值模拟.最后,给出了时滞对系统的动力学性质影响的生物解释.第三章研究具有确定时滞Shimizu-Morioka模型.首先,确定了平衡点的存在性,并利用特征方程法证明了平衡点的局部稳定性.其次,以时滞为分岔参数,运用中心流形理论和正规型方法分析了Hopf分岔的存在性以及分岔周期解的稳定性.最后,运用数值模拟验证理论分析结果的正确性.第四章研究具有离散时滞的企业竞争合作模型,讨论该模型的正平衡点的存在性以及稳定性,以时滞为分岔参数,运用时滞微分方程Hopf分岔定理给出了决定Hopf分岔方向及周期解稳定性的计算公式.运用Matlab中的dde23等函数句柄对理论分析结果进行数值模拟.最后,将理论分析与数值模拟的结果返回原模型中,对其进行具体的经济意义解释,为实际问题提供理论支撑。
【学位授予单位】:吉林大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2019
【分类号】:O175

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