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《吉林大学》 2019年
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非线性方程的有限体积元法

杜艳伟  
【摘要】:对于非线性椭圆及抛物方程的研究,无论是理论分析还是实际应用都很重要.本文研究了非线性椭圆及抛物方程的有限体积元法.对于非线性椭圆方程,建立了三角形网格上的二次有限体积元格式,证明了双线性形式的有界性和正定性,并给出了离散格式的最优H~1-范数和L~2-范数误差估计.对偶剖分采用了文献中关于线性椭圆问题二次有限体积元法的最佳对偶剖分.收敛性分析中,使用了H~1-范数和L~2-范数误差的相互依赖关系,这一点与有限元方法类似.此外,本文还进一步地考虑了数值积分公式对高阶格式收敛阶的影响.并使用恰当的数值积分公式,证明了最优的H~1-范数和L~2-范数误差估计.对导出的离散非线性问题,使用牛顿迭代法求解并证明了迭代法的二次收敛速度.数值实验验证了方法的有效性.对于时间导数项和扩散项均非线性的抛物方程,研究了线性有限体积元求解方法,证明了全离散格式的H~1-范数和L~2-范数最佳收敛阶.对于非线性的时间导数项的估计,主要使用有限元法的相应结果以及三角不等式来估计.给出了半离散格式和全离散格式的误差估计.对于此类强非线性方程,设计了相应的牛顿迭代法格式.典型的数值实验验证了理论结果的正确性.另外,对于一类辐射扩散方程组,利用温度与能量的关系,转化成一个特殊的带有非线性时间导数项的非线性抛物方程.建立了两个全离散有限体积元格式:守恒格式和非守恒格式.守恒格式是对非线性时间导数项整体进行离散,非守恒格式是对非线性项进行微分,然后对自变量进行离散.数值结果表明,守恒格式能够有效保持总能量不变,非守恒格式无法维持能量守恒.
【学位授予单位】:吉林大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2019
【分类号】:O241.82

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