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《吉林大学》 2019年
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一类可压非牛顿流方程和变指数发展方程解的适定性研究

司新  
【摘要】:流体力学是研究流体现象及相关力学行为的科学.目前,被人们所广泛研究的一类是牛顿流体,这类流体的应力张量与剪切速率成线性关系,在此基础上,可以得到著名的Navier-Stokes方程.与牛顿流体相对应的是另一类流体,它的应力张量与剪切速率不成线性关系,人们通常称之为非牛顿流体.非牛顿流广泛存在于航空航天、能源、海洋、化学、生物医学、地质学等领域,这也使得人们对非牛顿流体系统的研究兴趣与日俱增.目前,有关非牛顿流体的研究结果还很少,并且现有结果大多集中在局部解的研究上.本文我们主要讨论了可压非牛顿流方程和边界退化的变指数发展方程.在第三章中,我们研究了一维有界区间上的可压缩非牛顿流模型具有初边值条件其中未知函数ρ=ρ(x,t),u= u(x,t 和π(ρ)= aρΥ(a0,Υ1)分别被定义为密度、速度和压力Ω:=(0,1),P ∈(7/6,2),初始密度ρ0≥0.对上述问题,我们证明了下面的结果:定理1假设5/3pp2,初值(ρ0,u0)满足0≤ρ0 ∈ H1(Ω),u0 ∈ H01(Ω)∩ H2(Ω),ρ0≤ρ,(3)和相容性条件-(|u0x|p-2u0x)x+px(ρ0)=ρ01/2g,a.e.x∈Ω成立(4)其中g ∈尤2(Ω叫.则存在ε=ε(a,γ,ρ)0,若初始能量满足E0≤ε,则初边值问题(1)-(2)存在唯一整体强解(ρ,u)满足且对任意0T∞,有如下大时间行为对于所有的q≥3-2/p.定理2假设7/6p ≤ 5/3,初值(ρ0,u0)满足0≤ρ0∈H1(Ω),u0∈H01(Ω)∩ H2(Ω),ρ0≤ρ,||u0x||pp≤M.(6)和相容性条件其中g ∈ L2(Ω).则存在ε=ε(a,ε=0,若初始能量满足则初边值问题(1)-(2)存在唯一整体强解(ρ,u)满足且对任意0T∞O,有如下大时间行为对于所有的q ≥ 3-2/p.因为方程(1)中的粘性项(|ux|p-2ux)x具有很强的非线性性及奇异性,且初始密度含有真空,这些都给我们的证明带来了很大的困难.由于非牛顿流的特殊性,导致有效粘性通量F的处理带来了新的困难(F的处理在文献[36]中起到了关键作用),为此,我们采用了新的技巧克服F带来的困难,证明了密度的一致上界,得到下列先验估计:从而证明了整体强解的存在唯一性.此外还研究了强解(ρ,u)的长时间行为.在第四章中,我们考虑如下一类具有边界退化的变指数发展方程,当p(x)是可测函数时,方程来自于电流变理论,当 p(x)三p时,就是大家所熟悉的非牛顿流方程.ut= div(a(x)|▽u|p(x)-2▽u)+ f(u,x,t),(x,t)∈Ω ×(0,T),(9)具有初值条件u|t=0 = u0(x),x∈Ω,(10)和边值条件u|ΓT =0,(x,t)∈ ΓT=(?)Ω ×(0,T),(11)其中Ω(?)RN,p(x)是可测函数,且p(x)1.a(x)∈C1(Ω),且a(x)0,x∈Ω,a(x)=0,x ∈(?)Ω.f(s,x,t)是适当光滑的函数且满足|f(u,x,t)-f(v,x,t)|≤c|u-v|,(x,t)∈ QT.对上述问题,我们证明了下面的结果:定理3 若a(x)满足下列条件(w1)a∈Lloc1(Ω)且a-1/p(x)-1∈Lloc1(Ω);(w2)a-s(x)∈L1(Ω),其中s(x)∈(N/p(x),∞)∩[1/p(x)-1,∞).且初值满足u0 ∈ L∞(Ω),u0 ∈ W1,p(x)(a,Ω),(12)则方程(9)只需满足初值条件(10),弱解是存在的.定理4若a 满足(w1)-(w2),f.f(u,t 是关于u的Lipschitz函数,假设uu和v是方程分别在初值为u0和v0条件下两个不同的解,u0,v0满足(12),并且∫Ωa(x)d(x)-p(x)dx≤c,(13)则∫Ω|u(x,t)-v(x,t)|2dx≤c∫Ω|u(x,0)-v(x,0)|2dx.(14)其中 =dist(x,(?)Ω).由于方程(9)中的指数p(x)为变指数和a(x)会引起方程在边界退化,在证明解的适定性时会带来一定的困难.我们主要依据Fichera-Oleinik关于具有二阶非负特征值的线性方程理论和经典的p-Laplace方程研究方法,以及Sobolev-Orlicz空间的性质等,证明了解的存在性和稳定性.可以看出方程(9)只需满足初值条件(10),弱解存在唯一.这为我们讨论方程的稳定性在什么条件下不用附加边界条件或只需部分边界条件提供了参考.
【学位授予单位】:吉林大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2019
【分类号】:O175;O373

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