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《吉林大学》 2019年
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一类不可压流体问题的弱有限元方法

王秀丽  
【摘要】:流体力学方程在天体物理,武器物理,自然改造等科学研究,工业生产及工程领域均有着广泛的应用.数值模拟作为理论分析和实验探索的纽带,是研究流体力学方程的重要手段.对认识流体的一般运动规律及物理特征有重要作用.当前,随着计算机,科学计算方法及后处理等技巧的不断快速发展,多孔介质流体的应用范围已扩展至核物理,航空航天和工程设备等众多领域,如大气的运动,海洋运动,岩溶水矿床中资源的开采和保护等.它们都需要通过对流体力学方程的数值模拟进行不断发展与创新.那么对流体的运动规律该如何进行描述呢?从1687年,Isac Newton做了一项著名的粘性流实验.他发现几乎常见的流体的阻力和速度梯度之间存在线性关系.这使得人们对粘性流的流动有了更加深入的了解.然后,1755年Euler方程被提出.经过众多研究者的不懈努力,没有粘性的理想流的理论日趋完善.但是,理想流与时间流之间的测试结果之间却存在较大的差距,有时甚至相反.直到1821年,Naiver和其他专家开始对Euler方程中的分子间作用力展开研究,该作用力被George Gabriel Stokes称之为粘性系数.从而,粘性流体力学的基本方程被建立了.近几年,人们也将眼光着重放在研究流体的微观变化上,如:流体中悬浮晶粒的布朗位移和热扩散及空气的环流的升力和阻力对飞机机翼的剖面的影响等.上述应用均可利用积分微分方程来刻画与分析.因此,求解积分微分方程成了研究流体运动规律必不可少的重要研究课题.目前,求解流体力学问题的数值方法也有很多,例如:有限差分法[6,8,30,58,60,61,74],有限元方法[10,25,26,69,80,101],有限体积法[16,17,18,33,36,95],间断有限元[19,23,32,63,75,102],谱分析方法[7,29],和弱有限元方法[13,15,26,41,44,45,68,76,83,92,103,104]等.由于多孔介质流体本身具有强间断性,大变形及流体相互耦合等复杂的运动物理特征.所以迫切的需要设计一个合理恰当的数值方法来更好的模拟流体的各种特性.另一个难点是低阶有限元对(P_1\P_0或P_1\P_1)具有实现简单,精度高,计算成本低等优点.但是它在部分方法中无法满足稳定性条件,这使得压力的计算有非物理震荡.因此,我们须建立一个既能保证以稳定性为前提又能有效求解低阶有限元对数值格式.在本文中,我们采用弱有限元方法来求解流体力学问题,并利用一些加速算法提高计算效率.弱有限元方法是在2011年被提出来并用于求解二阶椭圆问题[81].尔后,根据经典微分算子与其微分算子之间的差异,通过增加稳定子[44,51,54,82]来作惩罚.进一步改进了弱有限元方法,并将其应用扩展至各个领域.因此,弱有限元方法有以下两个优点.(1).区域的剖分单元可以是任意的多边形或多面体,这使得网格生成和数值逼近更加方便和灵活;(2).弱函数的形式为u_h={u_0,u_b},其中u_0和u_b分别表示在单元T和其边界?T上的函数值.u_0和u_b之间不要求有任何的联系,所以弱函数不要求具有光滑性;(3).格式可以作杂交处理以并行减少整个离散系统的自由度.由上述的思想及性质,弱有限元方法受到了更多的关注且被推广到更多的领域,如Brinkman方程[37,96],Darcy流[15,41,86],Stokes方程[83,85,97,15,41],积分微分方程[1,14,22,27,34,49,50,56,66,67,70,83,93]Biharmonic方程[46,53,99],随机椭圆方程[38],抛物方程[2,24,40,88,105],随机偏微分方程[37,107],混合弱有限元方法[82],及其他领域[5,12,35,39,47,59,72,79,84,90,94,97].本文我们还应用Schur补方法,其主要思想是用边界函数代替内部函数来降低系统的自由度.这种Schur补技术已成功被应用[55,65,73,91,96,97]进行预处理分析.本文主要分为三部分内容.第一部分是用弱有限元方法求解不可压的Stokes方程.该方法适用于多边形网格剖分.其函数空间构造简单,具有较高的灵活性和高效性.而且,使用Schur补方法,在保证精度的同时,还能有效的降低计算量,从而得到在不同范数下的弱有限元方法的最优收敛阶.而后,弱有限元方法应用于求解较为复杂的Darcy-Stokes方程.要求弱有限元方法构造的数值格式既能对Stokes方程稳定,又对Darcy方程稳定,使得在相应的范数下速度和压力函数均达到最优阶收敛.第二部分,用弱有限元方法求解时间相关的Stokes方程和Brinkman方程.复杂多孔介质流体的渗透系数具有很强的可变性,有时候很大,有时候很小.这使得所用的弱有限元方法需不受渗透系数的影响也可以保证该方法求解的有效性.弱有限元方法在逼近空间上速度函数是k次多项式,压力函数为k-1次多项式.分别建立全离散和半离散格式下相应的数值解,给出速度函数能量范数和L~2范数及压力函数L~2范数下的最优收敛阶.第三部分,用带稳定子的弱有限元方法来求解线性抛物积分微分方程.分别建立了半离散和全离散的弱有限元格式.推导出了各范数下的误差估计.最后,给出了一些数值算例来验证了该方法的正确性和有效性。
【学位授予单位】:吉林大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2019
【分类号】:O241.82;O35

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