重整化群方法在边界层问题中的应用

【摘要】：边界层问题起源于流体力学中高速流经固体界面时产生的奇特现象,在流体力学、空气动力学和大气海洋学等诸多研究领域都有重要的应用.自1905年Prandtl建立边界层理论以来,人们先后建立并发展了多种有效的方法和技巧,例如匹配渐近展开法、WKB方法与多尺度方法等.近年来,源于量子电动力学的重整化群方法被成功应用于包括边界层问题在内的众多奇异摄动问题的研究,并被Chen等人进一步发展为求解奇异摄动问题一致有效渐近解的重要工具,一般称为奇异摄动重整化群方法.本文主要利用重整化群方法研究几类奇异摄动边值问题.首先,我们利用自治微分方程流的群性质,提出了一种修正的重整化技巧,然后应用于几类边值问题的研究.主要成果如下.一、研究了二阶半线性微分方程的边界层问题.利用我们提出的修正的重整化方法,得到如下二阶半线性微分方程边值问题(?)的一阶渐近解,其中ε0是小参数,α,β是常数,a(x)∈ Cr[0,1],b(x,y)∈Cr[0,1,1](r≥2),且当x ∈[0,1]时,a(x)0.进而对三种特殊情形给出了渐近解,并分别与匹配渐近展开法的渐近解从理论和数值方面进行了对比,结果表明所得渐近解与匹配法得到的渐近解是一致的.二、研究拟线性时滞微分方程奇摄动初边值问题(?)和对流-扩散方程的奇摄动初边值问题(?)首先将时滞问题分解为左、右两个不带时滞的边值问题,然以利用重整化群方法分别构造左问题和右问题的渐近解,最后利用光滑缝接条件将左右两段解连起来,得到原问题的渐近解.