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基于Daubechies小波的伽辽金法

周金华  
【摘要】:小波分析(Wavelet Analysis)是近年来国际上一个非常热门的前沿研究领域,是继Fourier分析之后的一个突破性进展,它给许多相关领域带来了崭新的思想,提供了强有力的工具,在科技界引起了广泛的关注和高度的重视。它既包含了丰富的数学理论,又是工程应用中强有力的方法和工具。 小波变换(Wavelet Transform)的含义是:把一具有有限能量的母小波(Mother Wavelet) ,如 进行移位 后,再进行尺度 的伸缩得到小波基函数 为 然后与待分析的函数 作内积,即 对 和 作Fourier变换后,可得到小波变换的等效频域表示为: 其中 、 分别是 、 的Fourier变换,i为虚数单位。 粗略地比喻,小波变换的作用如下图所示。用镜头观察目标函数 , 代表镜头所起的作用(例如:滤波或卷积)。 相当于使镜头相对于目标平行移动, 相当于使镜头相对于目标推进或远离。 有限元法的本质可归结为变分原理和逼近空间的结合。传统的有限元法采用低阶分片插值多项式作为逼近空间,而广义有限元可采用更广泛的基函数作 为逼近空间。本文将小波分析理论和有限元法结合起来,用Daubechies小波 WP=58 小波变换的粗略解释 基函数代替多项式函数作为试探函数,应用到伽辽金(Galerkin)法中。具体讲本文分成六个部分展开。 第一部分对有限元法和小波分析的基本思想及目前的应用状况做了概括叙述。论文的第二部分首先建立泛函空间的基本概念,特别是各种工程分析中应用极其广泛的三个重要空间:距离空间、线性赋范空间、Hilbert空间以及相应的性质,然后阐述小波分析的定义、性质,以及在小波的实际应用中有重要作用的多分辨分析(MultiResolution Analysis)和Mallat算法。 第三部分从广义有限元的角度阐述小波有限元。有限元方法的本质可归结为变分原理(广义解)和逼近空间的采用,小波有限元的概念是将小波基代替传统的多项式作为插值函数。在此具体推导了四阶椭圆方程边值问题的变分和抛物型方程边界问题的有限元法。 第四部分的主要内容是利用Daubechies小波的紧支集,正交性及高阶的消失矩等优良性质来作为插值函数。并详细推导出在有限元方程中所需的尺度函数的导数和Daubechies-Galerkin有限元方程系数。 第五部分给出了Daubechies-Galerkin法在板弯曲和抛物型方程的数值算例,并做了分析。论文的最后对本文的工作做了总结和展望。


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