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手性介质中某些电磁散射和反散射问题的研究

张德悦  
【摘要】:光学和电磁学的散射和反散射理论是数学物理中的重要研究领域,这方面的工作已经有了许多,有关文献可以参考[6],[8],[14],[16],[23],[24],[52]。 手性介质中电磁散射和反散射问题是近年来一个新的研究课题,Ammari和Nédélec,Gerlach,Ammari和Bao,Athanasiadis等人,分别针对手性介质中的散射与反散射问题进行了研究。 时谐电磁波在手性介质中的传播遵循Maxwell方程组 ▽×E(x)-iωB(x)=0, ▽×H(x)+iωD(x)=0,(1)以及Drude-Born-Fedorov(DBF)本构方程 D(x)=ε(x)(E(x)+β(x)▽×E(x)), B(x)=μ(x)(H(x)+β(x)▽×H(x)),(2)其中x∈R~3,E,H,D和B是向量函数,分别表示电场,磁场,电位移和磁感应强度,ε(x)和μ(x)是标量函数,分别是手性介质的介电系数和磁导率,而函数β(x)是手性导纳(chirality admittance)。 由于方程的复杂性(如电磁场相互耦合)以及计算区域的特点(如无界性),在上述问题的数值计算中,使用通常的计算方法常常会遇到许多困难,研究有效的计算方法仍是当前热门课题之一。 本文针对时谐电磁波在手性介质中的某些散射和反散射问题进行了理论分析和数值计算,主要有以下几项工作: (一),周期手性介质的电磁散射问题:给定入射电磁波(平面波)公- se‘q.‘和H‘=p。‘“·工,满足 1 s=—(P xq),q·q=公“l拜l,P·q=U, 公EI 求下述方程组(由(l)和(2)导出)的有界拟周期解E和H, 甲xE二 (:(·))2。(·)E+‘。。(·)(斋)ZH, (:(·))2。(·)H一‘。·(·)(斋)ZE, (3) 甲xH= 其中无(二)一、沪不呱面, 以及充分小的占0,实值 (守(x)) ILI~、、2 。I八J!J尹J夕 ‘二-止‘-二一二二--. 1_[吞f,、门f,、、2’ 几一气伪气山j尸气山I/ 并且对固定的正数A、6 LOO函数。(x)、试x)和口(x)满足 :(x;+。A,xZ)= 拼(x,+。A,xZ)= 尽(x,+。A,xZ)= ‘(x,,xZ 拜又xl,工2 V几任Z (4) 口( 以及 =:1,拼(x)=拼,, x,,xZ), 口(x)=0,x:b一占, =:2,户(x)=户2,口(x)=0,x:一6+占, 全:。,户(x)全户。,口全O, (5) 、、,了‘、,.,少、、.产 X XX Z亨吸tl‘.、了刀r吸、 乙日巴 d=1一丸口全d。0, ‘o,£‘,‘2,拼。,拜,,户2和d0均为正常数. 由单周期性,假设电磁场在13方向不变.由方程组(3),我们可以利用电 场和磁场第三个分量(记为e和哟的组合表示前两个分量,并由有界和拟周 期性得出关于C和h的边界条件,从而将原问题转化到二维区域上考虑,其等 价形式可表述为:求。,h任玛(卿,满足微分方程 一甲 ,1~、沁。.。 L万v“)一下甄“一‘。几 ,1、.a‘丫_.。 1吸一e)+一e一一e+z公v 拼拼拼 (口Vh) in几, 一。a口氏:h一。a氏:(口h)一‘曰aZ口h一,。守2口人=f1 (6) 一甲 ,1~,、乞a八,.八,1,、a‘,丫,, L一V几)一一隽1几一Z口Ox1L一几)十一n一一n一z公V EE一SE己 (口甲e) in几, +。a口氏,e+。a氏:(口e)+乞。aZ口e斗乞。年2口芭=f2 (7) 以及边界条件 (Tl一 于)e =0,onT一, ,_a、. {,1、一二,1九二 d夕‘ (8) 0,on rl, (二一晶)一 (二一晶),- o,on rZ, (9) 0,on rZ, 其中几={x〔RZ;一bx:好,rl二{x任R“;x:=好,r:={x〔RZ;x:= 一好,弓(卿表示H‘(卿中函数的子集,其中元素是砚。(R‘(一b,句)中满足 在x;方向以A为周期的函数,算子写(j二1,2)定义为 一,、『,、1产 写(f)一乙‘男f、“,“’“”‘’,f‘“,一大_jnf(x)“一’““““x‘· 几〔乙一“ 为了方便起见,在不至于混淆的情况下,我们省去了。。和h。的下标a.同样, 我们将省去下标p.以下,我们仅在一个周期内考虑上述问题,不妨用几表示 有界区域{x〔RZ;0xlA,一bx:好. /。歹 利用分部积分公式以及边界条件,很容易得出 厂与。.可dx一‘。厂气。,dx+,。厂王。而dx+厂竺卫兰。,d: Jn拼JQ拼Jn尸Jn户 一如五“v”·币d一五从、“,dx+。·五““舔dx 一如五(a2十:’)“”dx一击关1爪(e)”dxl一众关:几(e)”dxl一五“”故 (1 五:二、·、d一、关:、1,。、+。五:“。d·+五竿“、“ +‘?五“,二而“·+。·五。、:·。“一五。·而“· f,。。、_.11 +z公I(a‘+7‘)口e互dx一一I JQ石1 Jr Tl(n)互dxl一上 石2 关2“(h)“dx‘- 五“。d· 、、.户、、产、、1.1 n‘qU月任 ,.上1几,土 了下‘.矛亨..、了.、 用a(e,刀)和6(h,口)分别表示(10)和(11)左端.从而,边值问题 的变分形式为:求。〔H‘(几)xH‘(几),使得 A(u,v)=(f,v),Vv〔H,(几)xH,(n), 其中双线性形式 A(u,v)=a(e,p)+b(h,g), (11) (6)一(9) (f,U卜五*,d·+五“。dx· 使用解析Fredholm定理,我们得出了解的存在唯一性结果. 定理1除去波数k的一个的离散集,变分问题(l习一(l刃


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