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量子物理中的非对易分析与超算符

李根全  
【摘要】:二十世纪20年代中期量子力学的建立从根本上改变了人类关于物质和运动的图象。在经典物理学中,体系在任一时刻 的状态由它的所有广义坐标值和广义动量值 所刻画。体系状态随时间的变化由正则运动方程确定 。 整个世界的运动是决定论的。而在量子力学中每个体系的状态由一个非零的定义在位形空间上模平方可积的复值函数(波函数)所描写。波函数的模平方正比于体系处在其位形空间各个点的几率密度。量子力学对微客体行为的描述是非决定论的。微客体具有波粒二象性。微客体的这种与宏观物体绝然不同的性质决定了量子力学和经典力学的数学框架全然不同。经典力学的数学框架是辛几何,而量子力学的数学框架被公认为是Hilbert空间上的线性算符理论。 象陈省身先生和杨振宁先生所指出的那样,物理与数学的发展既有相互独立性,又是互相启发和互相促进的。黎曼几何与广义相对论是最好的例子。而量子力学与Hilbert空间上的线性算符理论也不是例外。 但是在过去的文献中,人们更多地强调了算符理论的代数侧面而多少忽视了它的分析侧面。 本文第一部分工作是把数学家建立的Banach空间上的分析理论首次引入量子物理,用于研究算符函数的微积分。由于算符函数的自变量是态矢量空间 上的算符,而不是数。这决定了它的函数值与各阶导函数值是性质不同的数学对象。另一方面微分的实值是把映射局部地线性化(在很小的邻域中用线性映射近似),我们针对量子物理中算符 函数微积分的需要,系统地研究了各类超算符空间的性质。本文创建了各类超算符的符号体系,提出并证明了如何系统地由普通算符构造各类超算符。证明了各类超算符的运算可以归为普通算符的运算。这一部分工作为讨论算符函数的微积分做好了准备 但是我们发现类超算符理论自身对量子物理也是一个强有力的工具。在本文的第三部分我们用很多例子说明了超算符概念的重要性。 本文内容的具体安排如下: 第一章介绍了线性空间,赋范线性空间,Banach 空间,内积空间和Hilbert 空间的概念。 在一般的线性空间中,你没法判断两个线性无关的向量的孰大孰小。而为了讨论向量序列的极限,必须引入向量的范数。这样就有了赋范线性空间的概念。为了使每个Cauchy 序列都有极限,我们必须把自己局限于完备的赋范线性空间(Banach 空间)。 量子体系的态矢量空间 是复的内积空间,即定义了内积的复线性空间。总可以利用内 WP=41 积 定义向量的范数 ,使内积空间自动地是赋范线性空间。为了能自由地谈论Cauchy 序列的极限,我们必须把自己局限在完备的内积空间(Hilbert 空间),后者自动地是Banach 空间。 我们特别地讨论了由 维复内积空间 到 维复内积空间 的线性映射的全体所成的 维复线性空间 。我们定义了线性映射 的厄米共轭:对所有的 , , (1) 从而定义了 中的内积:对 (2) 注意,由(1)可见 与 不同。(2)是与基的选择无关的概念。 容易验证内积(2)满足内积的公理,从而 是一个 位的复内积空间。当 是 的正交归一基, 是 的正交归一基,可以证明 构成 的正交归一基。 第二章介绍了数学家建立的Banach 空间上的分析。设 、 是 Banach 空间, 是 的非空开子集。映射 的微积分就是Banach 空间上的分析。 。若对所有的使 的 都有 (3) 其中 是函数改变量中线性地依赖于 的部分(这相当于说 是与 无关的由 到 的线性映射 ),而 是 的高阶小 (4) 则可以证明 是唯一的,称 在点 处可微, 是 在点 处的微上,记作 。于是 (5) 可见函数值 与微商值 是不同的数学对象(除非dim )。如果 在 上处处可微,则我们有 的一阶导函数 (6) WP=42 若 在 上处处可微,则我们有 的二阶导函数 (7) 依此类推,我们可以有 的 阶导函数 (8) 我们看到与普通的以数为自变量的函数不同,普通函数的值和各阶导函数的值是同种数学对象。而Banach 空间上的函数值,各阶导函数值是不同性质的数学对象,各属于 , , ,等等(当dim 时)。 把这种一般的结果,应用到量子物理中的算符函数。设 是体系的态矢量空间, , 是 的非空开子集,算符是指映射 (9) 我们可知,当 在 上 次可微 ,则函数值 ,一阶微商值 ,二阶微商值 ,等等是性质不同的算符,超算符,超超算符等。 在第二章我们系统地发展了各类超算符所成的Hilbert空间的理论,为讨论量子物理中的非对易分析做好了代数准备。 第三章我们介绍了超算符概念自身在量子物理中的各种应用,指出它不仅仅是非对易分析的代数基础。 本文的工作是初步的,还没有涉及算符函数的微分方程与积分方程。我们希望非对易分析与量子力学在未来相互启发相互影响取得共同发展。


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