关于一类β-ARCH模型参数估计的研究

【摘要】：2003年11月，Engle被授予了“诺贝尔”经济学奖，以表彰他在计量经济学领域杰出的工作，其中ARCH模型是他对计量经济学最重要的贡献。时序的方差随时间而波动是金融时序主要的动态特征，毋庸置疑ARCH模型的出现对金融领域产生了深远且巨大的影响。用ARCH模型拟和金融数据以捕捉其时变方差的行为，成为计量经济学界的普遍共识。 2001年Bollerslev在计量经济学杂志(Journal of Econometrics)创刊100期之际撰文，回顾了金融计量经济学的发展进程并展望未来研究的机遇和挑战。他着重指出对具有高频数据、长记忆性、尖峰厚尾、高维特征的体系之时变方差的研究将成为未来重要的方向。另外，根据现代新兴学科(例如金融风险管理学)的发展需要，对金融数据分布尾部特征精细的量化，或者从更广泛的角度讲，在厚尾体系下对金融数据的研究日益受到学者广泛的关注。因此，对建立在分布正态假设之上ARCH理论体系的深化势在必行。 现在所面临的问题是：如何在分布未知的情况下拟和ARCH模型?本文的重点在于模型参数的估计部分，我们先后研究了两种估计方法——拟似然方法和经验似然方法。本文的研究对象是下述一类β-ARCH模型。 假设时间序列{X_t}满足如下模型：其中r＞0，0＜β≤1，α_0＞0，α_i≥0(i=1，2，…q)，q为模型的阶数。当β-1时，要求sum from i=1 to q (α_i＜1),{η_t}为独立同分布随机变量序列，且Eη_t=0，E|η_t|~r=1．另外，假设{η_t}有“处处为正的连续密度函数”，而且{η_t)与σ(X_s，s≤t)相互独立。本文中， 我们称与随机干扰有关的随机变量序列{仇1为噪声序列.令a=(助，。1，…，a;)‘表示 (q十l)维参数相量，其中“‘”表示向量的转置，并记参数真值为。(0). 一、拟似然估计方法: 以Fisher的“似然”思想为基础，1974年wedderburn提出T拟似然(quasi likelihood) 的方法，他发现某一函数和所有指数分布族的得分函数(s core function)在形式上极为 近似.当总体分布未知时，他将这个函数的积分视为拟似然函数，得到的估计称为拟似 然估计.已经有很多学者研究了ARCH模型参数的拟似然估计，其相应的拟似然估计 是通过正态分布的似然函数提出的.本文是通过广义误差分布的似然函数提出了一个拟 似然准则函数，并且发现拟似然准则函数中的尾部指数(俪1 index)和庄ARCH模型的 一个有趣的关系.本文中，我们还证明了此估计的强相合性和渐近正态性. 设r，口已知，，取下式准则函数 (2) 口 Xt; 。艺 i一几 一一 L，(a) l。(a) _一王In(h。(xt:。))- }Xt}『 :h，(Xt:a) 最大化L。(a)，得到模型(l)参数的估计，我们记为虱.这里准则函数L。(a)包含尾部 指数r，它可以被视为是正态型准则函数的推广，相应的估计a。为是拟似然估计的一般 化形式. 定理A(拟似然估计的强相合性):设时间序列{X。}服从模型(l)，在必要假设之 下，有 尸不lim_风一。‘”，飞一1 定理B(拍似然估计的渐近正态性):在必要假设之下， 而(舀。一。(0))上N(o，C「‘c0C厂’)，。\+oo， 其中 Co=E az。(。(o))az 口a =E(}仇}Zr一1)E 1 ah， h艺(。(o))aa 丛1 口a，J r.I胜胜..L，，......J 型掀 aZlt‘ 口。aa产 1 ahtaht h矛(。(o))撇 加尹 r.I.‘‘seLr，，..r卫L 二、模型(l)的经验似然推断: 1988年Owen提出了经验似然(e mpiricallikelihood)的概念，于是在约束条件下极 大化经验似然函数就得到了经验似然估计，其中约束条件是通过重新分配每个观测值上 的权重而实现它对参数估计的影响.作为“似然”方法的延续和发展，经验极大估计克 服了极大似然估计要求总体分布已知的不利之处.Auli在[z]指出，随着计量经济学中 估计理论发展，将两种经典的估计思想一Fisher的似然思想和Pearson的矩思想，结 合起来将成为新的发展趋势.在这个过程中，非参数的经验似然方法将起到“纽带”的 作用.这也是我们研究经验似然方法另外一个价值所在. 本文给出一类庄ARCH模型的经验似然推断.利用模型中噪声密度函数的矩条件 和独立性得到经验似然的约束条件，使得对ARCH模型的经验似然分析成为可能.本 文给出相应似然比统计量的渐近分布以及证明了经验似然估计的渐近正态性. 我ff7记乳(。)=(夕1:(。)，兜:(。)，…，夕(1+1):(。))‘，其中l全、，并且 。1。(a)=lx卜‘Ir九口:(。)一i， 。2:(a)=[IX:一‘+，lrh舀+，(。)一11·IX:一‘Irh口，(a)， l 。。‘十，):(。)一[I从lrh:’(a)一‘j·11 IXt一‘Irh口‘(a)· 云二1 可以验证当。二a(0)时，峋:(a(0))= 假设Xl，XZ，…，瓜是来自真实参数为a(0) 定的a，令p。=州X=X:)(亡二1，2，…，n)时， 的模型(l)的观测样本值，对于每个固 我们得到如下的矩约束的形式: 枯 艺几*(a)一o· t二1 可以证明当n充分大时函数 n L。(a)=11，: 己=1 在集合，。(a)={p:}p。全0，艺几;p:=1，艺几1仇g‘(a)二0}上有唯一