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关于集值映射不变测度的存在性与遍历性

张玉成  
【摘要】:在这篇文章里,我们研究了集值映射不变测度的存在性和遍历性.这些研究是在如下环境和条件下进行的: H-1:X是n-维Banach空间(n>1)中的有界闭凸集,且可测集值映射F:X→C_c(X)是ε-有界几乎下半连续(a.l.s.c.)的. H-2:X是n-维Banach空间(n>1)中的有界闭凸集,且可测集值映射F:X→C_c(X)是ε-有界(n+1)-l.s.c.的. H-3:X是1-维赋范线性空间中的有界闭凸子集,可测集值映射F:X→C_c(X)是2-下半连续的(2-l.s.c.). H-4:X是一个紧度量空间,具有闭值的可测集值映射F:X→2~x是弱下半连续的(w.l.s.c.). H-5:X是一个紧度量空间,具有闭值的集值映射F:X→2~x是下半连续的(l.s.c.). H-6:X是1-维赋范线性空间,可测集值映射F:X→C_(bc)(X)是2-下半连续的(2-l.s.c.).且在M_1中存在点列{σ_n}(?)M_1和μ∈M_1,对于某个P∈P_F满足当n→∞时,μ_n=1/n sum from i=0 to n-1 P~iσ_n→μ. H-7:X是一个Polish空间,具有闭值的可测集值映射F:X→2~x是弱下班连续的(w.l.s.c.).且在M_1中存在点列{σ_n}(?)M_1和μ∈M_1,对于某个P∈P_F满足当n→∞时,μ_n=1/n sum from i=0 to n-1 P~iσ_n→μ. 中文摘要 H一8:x是一个Polisll空间,集值映射F:x 0 ZX是一个具有闭 集值且下半连续的(l. s.c.).在川1中存在点列{a。}c川,和#任州1, 对于某个p任尹尸满足。。=l/n兄写尸。。、。(二、oo). 首先,应用集值映射的Marko、不变测度的定义,以及它与Aubin 在【l]里给出的定义间的等价性([la]中的定理A),证明了在八种环 境条件下集值映射不变测度的存在性.可归纳为: l)在假设条件H一1一H一3中至少有一个成立的情况下,则有 (l)F存在不变的概率测度娜任从(x,月; (2)在M口,F)中有极小不变测度赵。〔姚(x,F),即存在极小元; (s)乔并必存在极小元和最大元,且对任意的尸任尹二,川尸笋0. 2)在假设条件H一4成立的情况下,则有 (l)F存在不变的概率测度赵。任从(x,F); (2)吞务O有最大元,且对任意的尸任马,州尸笋欣 在假设条件H一5成立的情况下,除了(l)和(2)成立之外还有 (3)M(X,月中存在最大元,且此最大元也在峡(X,F). 3)在假设条件H一6一H一8中至少有一个成立的情况下,则有 (l)吞半必存在极小元和最大元, (z)F存在不变的概率测度拜。任从(x,月,而且赵。任州尸兴吸 在文献!l]中关于集值映射不变测度存在性的条件为:紧度量空间上 具有闭图的集值映射,我们的条件与它不同.文献!州中讨论了紧的 Ballach空间上具有有界闭凸集值的下半连续的集值映射不变测度的 存在性,我们的条件除了H一1和H一2与之不同之外,其它条件都比 它弱. 然后,在不变测度存在性研究的基础上进一步讨论了集值映射 不变测度的遍历性.我们的工作是在这方面的研究处于空白的状况 3 下进行的,具体包括: 1.原创性地给出了集值映射的遍历测度定义,即空间(X,侧刀,川上 的集值映射F:X、ZX是使赵为其不变测度且具有闭的集值. 如果满足条件: B任侧x)满足侧侧仁B、风侧=0或川B)二1, 则称F关于测度赵是遍历的,概率测度赵称为集值映射F的遍 历测度. 2.建立了集值映射遍历测度的两个等价条件和一个充分性条件: (l)如果A。侧X)满足风助o,则有川U柔IF一“助二1. (s)对于每个八,B。侧引满足川助0,试匀O,则存在n0, 使得l.(F一A自司0. (3)“4任召口)满足娜((F一‘A)△A)=o、赵协)==1或拜(“4)=0. 这里,(l)和(z)是两个等价条件;(s)是充分性条件. 3.证明了集值映射的遍历测度集虽然复杂,但它还是具有很多很好 的性质. l)存在性:在假设条件H一1一H一8中至少有一个成立的情况下,如果 月任对汗,月是非遍历的,则 (l)首先,存在遍历的概率测度。2:对口,F)满足。劣脚,且 赵2《户; (2)若进一步地再有赵2任Ml(x,月。则必又存在一个遍历的概率 测度扛1任对,(X,列,使得拜1土赵:且赵=入拜:十(1一习材2。即拜不 是M(工,F)的极点.这里*。(0,l)由#,户2唯一确定; (s)最后,存在一个Markov算子几使得户,拜1,#2都是它的不变 测度. 4中文摘要 2)特殊遍历:在假设条件H一1一H一3中至少有一个成立的情况下,则 存在一个Markov一Feller算子P0任马与户。任侧P0满足: (l)拜。是州P0的端点. (2)拜:〔州P0且赵1《内,则赵1=拜。. (3)川任州P0是川Po的另一个不同于拜。的端点,则川土拼。. (#)对于任意的概率测度。任州1,如果。《赵。,则 土又弓。、协 了乙一 (5)川任侧P0是F的遍历测度,并且对x中任意的开集u都满足 川(U)0,则关于川对几乎所有的x任x,都有U{尸(x):。任N} 在x中稠密. 3)凸性定理:在假设条件H一1一H一5中至少有一个成立的情况下, (l)M(X,月并0。而且它还是凸集. (z)对任意的尸任尹二,州尸是M(x,月中的非空凸子集. (a)在假设条?


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