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《吉林大学》 2004年
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F-映射的研究

王立娟  
【摘要】:1978年,Feigenbaum首先发现在倍周期分叉传递到混沌的过程中具有惊人的数量普适现象(即所谓的Feigenbaum现象),进而他提出利用重正化群方法来解释这一现象。迄今,整个理论完全建立在Feigenbaum对某类函数空间的若干几何假设上,其中一个基本而关键的假设是关于重正化算子存在不动点,即相应的函数方程存在解的假设。之后这二十多年,有关Feigenbaum现象的研究倍受世人瞩目。时至今日,包括物理、化学、生物、生态以及数学的各个分支在内的众多领域的科学工作者已在这方面取得了丰硕的研究成果,使我们不仅知道了Feigenbaum函数方程存在解、存在什么样的解,而且清楚了如何具体构作其连续的、可微的乃至光滑的解,还了解到解的一些动力性态。 为了更好的解释Feigenbaum现象,探索普适机理,1984年,Eckmann,Epstein和Wittwer考虑了广泛意义下的Feigenbaum函数方程 并指出当p充分大时,上述方程的解近似于二次方程f(x)=1-2x~2 廖公夫又提出如下的方程 并指出它与方程(1)所发挥的作用相同,且这两个方程的解之间有非常直接 的联系.还给出了构造方程(l)的可微偶单峰解的一可行方法.本文进一步证 明了p阶Feigenbaum映射的非单谷连续解的存在性,并给出了构作它的一 种可行方法. 动力系统的一个很有趣的主题是它的拟极限集.拟极限集的概念是在1985 年由Milnor给出的: 设M为光滑紧致流形(可以带边),为连续映射.f的拟极 限集A=A(f)意指f在M中满足如下条件的最小的不变闭子集:对几乎 Lebesgue所有的 在Milnor定义的吸引子意义下,拟极限集是系统惟一的极大吸引子,它 集中了几乎全部点的渐进性态,因此研究这类子集很有意义. 1997年,廖公夫、黄桂丰和何伯和研究了一类无穷多峰Feigenbaum映射 的拟极限集,估计了它们的Hausdorff维数,并证明了对于O,1之间的任意一 个小数s,都存在区间上的连续映射,使其有一个以S为Hausdorff维数的拟极 限集.由于p=2时的Feigenbaum映射的单谷扩充连续解只有2的方幂周期 点,于是其拓扑嫡必为零且不是Li一物rke混沌的.又李天岩、J .Yorke指出周 期3蕴含混沌.另外Louls Block还给出了映射f具有非2方幂周期的充要条 件是f有一条非简单的2的方幂周期轨.于是我们自然会问,对p全3,p阶 Feigenbaum映射的拟极限集会是怎样的一种状态呢?本文将给出具体回答, 主要考虑p=3和4的情形.以下我们简称单位区间上的p阶Feigenbaum映 射为F一映射. 中文摘要 本文先是概述了F一映射研究的历史与现状,给出了F一映射的一些性质, 构造性证明了非单谷的F一映射的存在性,之后从Hausdorff维数和Hausdorff 测度两方面考察了3阶和4阶F一映射的具有分形结构的拟极限集,最后对4 阶F一映射给出了共扼分类一一I型和H型.主要结果如下: 一、设。久1,f0是阵,l]上的连续函数.如果f0满足: (l)存在a任(1川,l)使九(司二。且f01队川严格递减,f0}[a,l]严格递增; (2)君一‘(1)=入,君(入)=入f0(1): (3)记J0=[a。,1]。(入,1},入=允(J0),这里a。满足君一‘(a。)=o,并且 f0(勺a0,有 (a)JO,J,,…,寿一:C(入,1{是两两不交的; 间允肠。:。10、大是同胚,对每个乞=O,1,…,p一2; (c)a是区间寿一:的端点; (4)方程君一‘(x)二入二有惟一的解x=1. 那么存在惟一的非单谷的F一映射f满足.厂…协,1]=f0.反之,如果f0是非 单谷的F一映射在巨。l]上的限制,那么f0必满足(l)一(4). 二、设f是3阶非单谷的F一映射,f(a)=。.记fl=f1队a],儿=月[a.l] 如果存在正数对2,使得万兰}六}+oc。1兰几+二(在端点处考虑 其左或右导数),那么 (l)f的拟极限集A(f)=E是f的极小集合. (2)S三dim,E兰 2 、…,(inf 畏甄)x任I 艺,其中 …(方,(入x))’{)“ =1=艺(sup{(方‘(入x))‘…)‘· z二Ox任I 三、设f是4阶非单谷的F一映射,且f(a)= (在端点处考虑其左或右导数),且.八l)a. 存在并且是f的极小集合. 四、设f是4阶非单谷的F一映射,j(a): 0.若川队司一1,./’I!。,1{ 那么f的拟极限集州f) 二E 。.记f,=月队a],.儿二八。,1} 中文摘要 如果存在正数M3,使得M三试}+oc,1兰几+二(在端点处考虑其 左或右导数),且烈l),那么f的拟极限集州f)=E存在并且是f的极 小集合. 五、设fl,九是两个任意的4阶单谷的(非单谷的)F一映射.记入:二片(0), 川。,卜。且满足fz!f协、,。:]一1,川[a:,11全1,这里2二1,2.则有: (l)当fl,九为同一类型时,f:与儿限制在非游荡集上拓扑共扼; (2)当fl,几为不同类型时,f:与儿限制在非游荡集上不拓扑共扼.
【学位授予单位】:吉林大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2004
【分类号】:O19

【引证文献】
中国期刊全文数据库 前1条
1 王立娟;张慧;郑小红;;非单谷Feigenbaum映射拟极限集的可乘积性[J];科技通报;2007年02期
【参考文献】
中国期刊全文数据库 前9条
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3 陈芳跃;Feigenbaum函数方程的光滑解[J];科学通报;1988年12期
4 唐元生;Feigenbaum函数方程的单峰偶解[J];青岛大学学报(自然科学版);1994年01期
5 杨润生;关于线段连续自映射的一个反例[J];数学年刊A辑(中文版);1985年01期
6 廖公夫;第二类Feigenbaum函数方程的单谷扩充连续解[J];数学年刊A辑(中文版);1988年06期
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9 郝柏林;分岔、混沌、奇怪吸引子、湍流及其它——关于确定论系统中的内在随机性[J];物理学进展;1983年03期
【共引文献】
中国期刊全文数据库 前10条
1 顾荣宝;;跟踪技术与混沌(英文)[J];安徽大学学报(自然科学版);2010年02期
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3 林贞彬;郭大华;余西龙;朱进生;;EXPERIMENTAL INVESTIGATION ON THE CHAOTIC PHENOMENA IN THE WAKE OF A NATURAL THERMAL CONVECTION FLOW[J];Acta Mechanica Sinica;2000年02期
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7 谭立扬;化学反应器设计中的分叉(Bifurcation)及浑沌(Chaos)问题[J];北京工业大学学报;1991年01期
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9 郑德玲,赵耿,徐国保;Logistic映射数字流混沌奇怪吸引子及参数[J];北京科技大学学报;2002年03期
10 刘家冈;差分方程2~NP序列周期解顺序[J];北京林业大学学报;1986年04期
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2 陈树辉;沈建和;;基于增量谐波平衡法的马休-杜芬振子分岔及通往混沌道路的分析[A];第十一届全国非线性振动学术会议暨第八届全国非线性动力学和运动稳定性学术会议论文集[C];2007年
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9 齐彦生;李钢虎;李亚安;王红萍;;混沌振子对强噪声背景下微弱周期信号的检测[A];2006’和谐开发中国西部声学学术交流会论文集[C];2006年
10 ;Paradox and Chaos In Classical Mechanics[A];数学·力学·物理学·高新技术研究进展——2004(10)卷——中国数学力学物理学高新技术交叉研究会第10届学术研讨会论文集[C];2004年
中国博士学位论文全文数据库 前10条
1 吴冬梅;基于达芬振子的微弱信号检测方法研究[D];哈尔滨工程大学;2010年
2 孙明;基于小波和迟滞的混沌神经网络及其应用[D];哈尔滨工程大学;2010年
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4 胡爱花;混沌同步的有关问题研究[D];江南大学;2010年
5 周茜;混沌理论及应用若干问题的研究[D];南开大学;2010年
6 吴文娟;复杂混沌系统的存在性及动力学特性分析[D];南开大学;2010年
7 徐旭林;社会群体行为建模及其动力学分析[D];南开大学;2010年
8 贾红艳;混沌与超混沌系统模型分析及模拟电路研究[D];南开大学;2010年
9 魏恒东;混沌直扩信号检测与混沌同步研究[D];电子科技大学;2010年
10 潘林;一类混沌系统的同步与控制方法研究[D];东华大学;2010年
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2 曹永超;超混沌系统的生成及同步控制研究[D];山东科技大学;2010年
3 张莉;n-GaAs中的混沌研究[D];长春理工大学;2010年
4 贺莉;基于Matlab的永磁直线同步电机混沌系统研究[D];郑州大学;2010年
5 许红珍;不确定混沌系统同步方法的研究[D];哈尔滨工程大学;2010年
6 王晓艳;非线性混沌电路的分析与设计[D];哈尔滨工程大学;2010年
7 王爽;基于混沌优化的PID控制器参数调整[D];大连理工大学;2010年
8 孙鹏;几类典型混沌系统的同步与反同步[D];大连理工大学;2010年
9 赵宾;几类自治混沌系统的控制与同步方案研究[D];大连理工大学;2010年
10 刘荣;基于不同方案的混沌函数投影同步探究[D];大连理工大学;2010年
【同被引文献】
中国期刊全文数据库 前3条
1 王立娟,张爱华;一类4阶Feigenbaum映射的拟极限集[J];吉林大学学报(理学版);2003年04期
2 王立娟,张爱华;不具有简单轨的4阶非单谷Feigenbaum映射的拟极限集[J];吉林大学学报(理学版);2004年04期
3 黄桂丰,许品刚;分形拟极限集的可积性[J];数学研究与评论;2003年01期
【二级引证文献】
中国期刊全文数据库 前1条
1 刘彦辉;邬毅;;集值映射的广义强向量拟平衡问题系统[J];科技通报;2013年12期
【二级参考文献】
中国期刊全文数据库 前10条
1 杨路,张景中;第二类Feigenbaum函数方程[J];中国科学(A辑 数学 物理学 天文学 技术科学);1985年12期
2 周作领;线段自映射的非游荡集等于周期点集的一个充要条件[J];科学通报;1981年23期
3 周作领;关于线段自映射的几个等价条件[J];科学通报;1982年12期
4 陈芳跃;Feigenbaum函数方程的光滑解[J];科学通报;1988年12期
5 唐元生;Feigenbaum函数方程的单峰偶解[J];青岛大学学报(自然科学版);1994年01期
6 杨润生;关于线段连续自映射的一个反例[J];数学年刊A辑(中文版);1985年01期
7 郝柏林,张淑誉;研究强迫非线性振子中倍周期分岔和“混乱”现象的分频采样方法[J];物理学报;1983年02期
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9 王光瑞,陈式刚,郝柏林;强迫布鲁塞尔振子中的阵发混沌[J];物理学报;1983年09期
10 郝柏林;分岔、混沌、奇怪吸引子、湍流及其它——关于确定论系统中的内在随机性[J];物理学进展;1983年03期
【相似文献】
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3 乐茂华;;关于Diophantine方程1/x~y+1/y~z=1/z~x[J];曲靖师范学院学报;2010年03期
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5 张盛,李长辉;关于一类上三角形矩阵方幂的求法[J];锦州师范学院学报(自然科学版);2002年03期
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9 乐茂华;;方程δ(x~m)=y~n的素数解[J];固原师专学报;2005年06期
10 蒋春澜;Hausdorff维数与Schatten理想扰动[J];数学年刊A辑(中文版);1995年04期
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1 丁立新;范文涛;余旌胡;;子自仿射集的分形性质[A];Systems Engineering, Systems Science and Complexity Research--Proceeding of 11th Annual Conference of Systems Engineering Society of China[C];2000年
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4 叶黔元;;楔形体中矿床开采的边界元模拟[A];边界元法在岩石力学和工程中应用会议文集[C];1987年
5 黄安;杨霞;韩新焕;;Permanence For The Single-species Delay Diffusive Models With Nonlinear Growth Rates[A];面向21世纪的科技进步与社会经济发展(上册)[C];1999年
6 王华馥;;光散射在结构相变中的应用[A];第二届全国光散射学术会议论文集(下)[C];1983年
7 王资生;马中玉;蔡敦九;;真空关联的核物质饱和性质[A];第九届全国核物理大会论文摘要汇编[C];1994年
8 王顺金;周善贵;H.C.Pauli;;介子束缚态相对论本征方程的非微扰重整化[A];第十二届全国核物理大会论文集(上)[C];2004年
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1 王立娟;F-映射的研究[D];吉林大学;2004年
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