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《吉林大学》 2004年
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Hamilton系统中低维不变环面的保持性

柳振鑫  
【摘要】:可积Hamilton系统的解在摄动之下的保持性问题使人们困惑了很长的时间,上世纪五六十年代KAM [8,1,13]理论的出现才解答了这个问题。KAM理论肯定了大部分的不变环面,也即Hamilton系统的解,将在小摄动之下保持下来。但经典的KAM理论回答的是标准的Hamilton系统的不变环面的保持性问题。 后来Melnikov [12]考虑了在现在被称为Melnikov非共振条件的条件下近可积Hamilton系统中椭圆低维不变换面的保持性。更详细的,对于下面的系统Melnikov宣称大部分的不变环面将在小摄动之下保持下来,如果有下面的条件:其中k∈Z~n,l∈Z~m,|k|+|l|≠0。他的这个结果的彻底证明后来被Eliasson,Kuksin,and Pschel[4,9,17]三人分别给出。实际上,Moser在[14]中已经注意到椭圆低维环面的保持性。他证明了当系统有二维椭圆不动点时拟周期解的存在性。但是他的方法无法应用到高维,因为他要求切频率固定。后来Eliasson [4]通过让频率经受小的摄动的方法成功的去除了这个限制,Pschel[17]后来简化了Eliasson [4]的证明。 为中的标准辛矩阵的特征根为不同的实根时,得到了双曲 不变环面的保持性.推广了的结果,他允许有重特征根的出 现.后来用隐函数技巧证明了Graff的结果.最近,李勇和易英 飞又推广了Graff和Zehnder的结果,他们允许未摄动系统退化,并且 得到了切频率部分或全部频率分量的保持性.他们采用了对法形进行Fourier 展开的技巧,这是一个新技巧. 最近,周修义,李勇,易英飞证明了对标准的Hamilton系统在RtiSSmann 条件下子流形上的大部分未摄动环面将保持下来.受他们工作的启发,在本文 的第一部分,我们将证明在某些假设下,子流形上的大部分的低维不变环面也 将在摄动之下保持下来,它们可以是椭圆的,双曲的,甚至是混合型的. 为证明系统(1)的低维不变环面的保持性,我们首先考虑下面的依赖于 参数的实解析的Hamilton系统 Hamilton系统中低维不变环面的保持性闭区域, 在以上假设下我们得到了低维不变环面在子流形上的保持性,由于 的特征根可以是实的,可以是虚的,也可以两者皆有,故保持下来的环面可以 是双曲的,椭圆的,或者是混合型的.特别的我们还给出一个推论说明了不变 环面在等能面上的保持性. 由于重要的技术上的原因,奇数维的KAM理论的发展被认为是具有挑 战性的问题.李勇和易英飞在中解决了这个问题.在他们的结果中,所 考虑的Hamilton系统的角变量和作用变量的数目可以不同,更为重要的, Hamilton系统可以是奇数维的.受他们工作的启发,在本文的第二部分,我 们将证明Graff和Zehnder的结果对广义Hamilton系统仍成立,也即预先 固定频率的双曲不变环面在摄动之下将保持下来. 我们考虑如下的依赖于参数的Hamilton系统: 在以上假设下,我们证明了系统(3)的双曲不变环面大多数在摄动之下 可以保持下来,并且频率可以是预先给定且可以保持不变的.
【学位授予单位】:吉林大学
【学位级别】:硕士
【学位授予年份】:2004
【分类号】:O177

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