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近似求解周期边值Cahn-Hilliard方程的谱方法

刘兵  
【摘要】:本文用谱方法讨论如下形式的具常迁移率的四阶抛物型Cahn-Hilliard方程的初边值问题: 其中u=u(x,t)为相互扩散的两种物质之一的密度,r>0为迁移率,假设其为常数。φ(u)≡H′(u),H(u)为双井位势的典型形式: H(u)=-(1/2)u~2+(1/3)γ_1u~3+(1/4)γ_2u~4 本文只讨论γ_1=0的情形,此时φ(u)≡H′(u)=-u+γ_2u~3本文的主要目的是要在γ_2>0时用谱方法建立问题(1),(2),(3)半离散近似并讨论其稳定性和收敛性。 Cahn-Hilliard方程是一类重要的四阶非线性扩散方程。最初是由Cahn和Hilliard于1958年在研究热力学中两种物质(如合金、聚合物等等)之间相互扩散现象时提出。后来在描述生物种群的竞争与排斥现象,河床迁移过程,固体表面上微滴的扩散等许多扩散现象的研究中也提出了同样的数学模型。从本世纪八十年代以后,人们开始系统的研究Cahn-Hilliard方程,近年来由于Cahn-Hilliard方程 2 在化学、化工和材料科学等方面的重要背景,关于Cahn一Hiiliard方 程的理论研究成果甚多,本文主要从数值方面来研究Cahn一Hilliard 方程。所谓谱方法就是以三角函数为基底的有限元法.三角函数具 有很好的逼近性质,这使得谱方法成为一种高精度的数值方法,选 取三角多项式作为逼近空间的基函数,用谱方法构找出相应的拟谱 近似方程。 本文首先对e汕n一Hil一iard方程之周期边值问题(一),(2),(3)建立了 与之等价的变分形式.证明了如果、[0,刘、少[0,司是方程(l),(z),(3) 的解,则u一定是方程 au、护牡护v、,、护v、 (下丁,v)+守〔下万;厂二二)=戈沪(u),不甲二),Vv〔月石 〔少不口工‘口工山口工‘ (4) 的解.如果二:10,刘*几是方程(a)的解,对任意的t有试t,.)任 创(0,司且u满足边界条件(z)及初始条件(3)则它一定是方程(l), (2),(3)的解.然后用谱方法对空间变量x作离散近似得到了以下半 离散问题:求解方程(3.1)的谱方法为求二N:旧,刘,勒使之满足 、l才口、l口了、!子 临但口 月。,自2二目2.、目2‘ 口匕汉、.,口“NL,U\,,、以U、曰一门 -言尸,v)N十7气-言,子.厂井下)N=气沪气廿N),二尸二)N vU七ON 了了了了勺产,,‘矛,脚,门‘曲矛,尹,,‘ 、夕即,曰产‘‘百2目‘‘沪创‘ 二、(x一二,t)=。、(x+二,t) 二,}。=。=。、。 其中。、=。,(x,,)=a。(:)+艺勺(f)eos夕x+艺勿(。)sin Jx,u场=PN二。 J二lj=1 为。。(x)在靳上的投影.接下来证明了半离散问题(5),(6),(7)的解 的存在唯一性.即证明了当守0,守:0时半离散问题(5),(6),(7)在 [0,刘上必存在唯一的解.在此基础上证明了半离散问题(s),(0),(v)解 3 的稳定性和收敛性.即证明了如果,任此是方程(5),(6),(7)的解,则 v,〔[0,刘有 …}.+关‘}!…(·川}、“·:CN一+,}·(O川! 其中c是仅依赖于守,守:和。。(x)的常数.1}。(0)}l是初始逼近误差。设 u是方程(一),(2),(3)的解,u,是方程(5),(6),(7)的解,我们得到 11。一。N 115 C 11。。一u、。{I+C万一无


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