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四点唯一决定一条抛物线及其在参数插值中的应用

杨喜臻  
【摘要】:代数曲线插值在CAGD中十分有用。在平面曲线选型中,熟知的Lagrange插值,样条函数插值用的较多,并且在实现造型中,往往使用参数形式,使得平面上的数据拟合变得方便易行。值得注意的是:和Lagrange插值、样条函数插值、Bézier方法等相比,对代数曲线插值研究的较少。尤其是平面上有序数据点列平面代数曲线的研究就更少了。 平面代数曲线也具有参数曲线无法比拟的优点,即它能很容易确定一个给定的点是否在曲线上以及在曲线的哪一侧。同时,代数曲线在计算机辅助设计中也经常碰到。比如参数曲面与平面的交线就是一条平面代数曲线;平面参数曲线的等距曲线也是一条代数曲线。 三次代数曲线比三次参数曲线(Be'zier曲线和B样条曲线等均属于参数曲线.)更容易实现曲线过渡及对离散数据的拟合。有鉴于此,通过给定的平面上有序的正则的四点p_i (i=1,2,3,4),构造一个二次曲线系。具体过程 WP=50 如下: 平面上顺序四个点A、B、C、D无三点共线,且直线AB的方程为f_1(x,y) ,直线BC的方程为f_2(x,y),直线CD的方程为f_3(x,y) ,直线DA的方程为f_4(x,y) ,则方程: f_i(x,y)×f_2(x,y)+f_3(x,y)×f_4(x,y)=0 表示过A、B、C、D的二次曲线方程(其中λ为参数)。 在此基础上设计了四点确定一条抛物线的算法,并分析出确定抛物线的四点相互间要满足的位置关系,即:平面上顺序四个点A、B、C、D无三点共线,唯一决定一条抛物线的条件是:直线BC与直线DA平行。但是, 不同顺序的四点在决定二次曲线类型存在着差异。 我们利用以上算法,构造了三次代数曲线,即四点与两端点切线构造三次曲线。设L_3 是通过p_2 ,p_3 两点的直线, L_4是通过p_1 ,p_2的直线,L_5 是通过p_3 ,p_4 的直线,L_6 是通过p_1 ,p_4 的直线(如图一所示)。直线L_1 到L-6 的方程用下式表示: l_i(x,y)=a_ix+b_iy+c=0(i=1,2,3,4,5,6) 则三次曲线系方程可如下: f(x,y)=l_(1)l_(2)l_(3)+λl_(4)l_(5)l_(6)=0 WP=51 事实上,四点与两切线构造三次代数曲线是平面六点构造三次代数曲线的特例。我们设p1 ,p2 点重合,p5 ,p6 重合,则p1 ,p2 的连线实际上就是过p1 点的切线,同理,p5 ,p6 连线实际上就是过p5点的切线。 根据以上分析的内容,建立了平面有序四点确定一条抛物线的程序。该程序的步骤如下: 1、先输入有序的四个点的坐标; 2、建立有序的四条直线方程; 3、联立成二次曲线系方程,计算出二次曲线方程的A,B,C,D,E,F的值; 4、根据抛物线的性质,二次曲线方程: Ax~2 +Bxy +Cy~2 +Dx +Ey +F=0 由于抛物线方程的系数存在如下关系:B~2-4AC=0,计算 WP=52 出λ值。如果λ有唯一解,则调用绘图程序。 综上所述,本文所采用的最简单的代数曲线进行插值,可以产生精确的二次曲线和三次曲线,比以往常用的Lagrange插值、样条函数插值、Bézier方法等具有更好的连续性。此外,本文方法产生的曲线可以象参数曲线一样进行形状控制,而且容易计算每一点是否在曲线上以及在曲线的哪一侧,也容易参数化。


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