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Aubry-Mather理论中的若干问题

王楷植  
【摘要】: 本文研究Aubry-Mather理论中的若干问题.全文共分四章,第一章是绪论,第二章至第四章为论文主体部分. 在第二章,我们首先将法国数学家A.Fathi建立的弱KAM理论(与Mather理论密切相关)参数化,对于一般形式的Hamilton函数得到低维作用极小测度的存在性定理.然后,将该定理局部地应用于近可积Hamilton系统,从而对动力系统理论的创始人,著名的法国博学家H.Poincar(?)提出的可积系统的稳定性机制有多少在小扰动下保持下来这一动力学基本问题作出进一步的回答.在第三章,我们研究了一类特殊的平面Lagrange系统极小解集的构造.Lagrange系统的极小解对应着相应Hamilton系统Poincar(?)映射的Mather集.我们给出了连接相邻的以0为旋转数的周期极小解的极小异宿解的一种新的变分构造.在第四章,我们研究了相应于具有变扩散系数的受控Markov扩散的Mather理论,讨论了随机作用极小测度的性质,给出了随机作用极小测度的变分构造,定义了相应的Mather函数,并且讨论了它们的可微性.


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