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周期系统的不可积性和部分可积性

焦佳  
【摘要】: 众所周知,微分方程的可积性与不可积性是微分方程研究领域中重要而基本的问题之一,长期以来一直受到人们的重视.为证明系统的可积性与不可积性,多年来数学家和物理学家们发展了很多方法,如Painlevé奇性分析法,线性相容性方法,Carleman线性化程序,Lie群方法,Ziglin理论和Yoshida准则等等.尽管如此,证明一给定系统的可积性与不可积性仍是非常困难的.此外,在数学、物理中出现的许多方程都根据各种守恒律而具有一些首次积分,但这些积分的个数少于完全可积所需积分的数目,因此它们既不是完全可积的,又不是完全不可积的,这种方程称为部分可积的.本文主要考虑了周期系统的不可积性和部分可积性. 文章共分为三部分.第一部分主要介绍微分方程可积性与不可积性的相关定义,研究背景,以及一些重要的研究方法和结果;第二部分给出周期系统形式首次积分不存在性判定准则的一个新的证明,同时考虑周期系统形式首次积分的部分存在性,最后给出几个例子来说明所得结果的有效性;第三部分在有理函数空间考虑周期系统首次积分的不存在性和部分存在性,并给出一些具体例子说明所得结果的有效性.


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