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一类非线性发展方程的定性性态

张萍  
【摘要】:本文研究了一类非线性发展方程的定性性态,对有限时滞的微分方程给出了小振幅周期解的存在性及Hopf分支近似解析表达式,并首次全参数分析了一类具有限时滞的地震波方程的稳定性区域,在不同的参数空间中给出了稳定性区域划分。 近年来,在建筑结构、电路、光学、社会经济学、生态环境与医学、神经网络、机械等领域中提出了大量具有时滞的微分方程模型,取得了许多重要成果,并且巧妙地利用时滞来控制动力系统的行为。例如,时滞反馈控制已经成为控制混沌的主要方法之一。理解这类模型的动力学性态对于我们今后的研究具有非常重要的意义。 严格地说,时滞现象是普遍存在的,人们对于时滞的研究显得尤为重要,其理论与实际意义对科学的发展起着举足轻重的作用。开展对时滞动力系统的研究既是一件非常有意义的事情,同时也是一个富有挑战性的研究方向。时滞对系统的动态性质有很大的影响。例如,时滞常常导致系统失稳;又如,时滞系统一般有无穷多个特征值,从而从一个侧面说明时滞系统是无穷维的,由此可见,对时滞系统的研究是极富挑战性的。目前对于时滞动力系统的研究主要集中在稳定性、Hopf分支、混沌等方面。在非线性时滞动力系统的分支中,讨论最多的是Hopf分支及同宿轨道和异宿轨道分支的发生和演变。 本文包括五章内容,第一章是绪论,简述了时滞方程的研究背景,发展现状,及本文的主要工作。 第二章以一般的具有非线性扰动项的时滞振动系统:x=f(x,x,t,t-τ,ε)为例,利用多尺度方法分析了其动力学性态。 第三章融合并阐述了Iooss和Yoshida Morita对于发展方程的Hopf分支理论和计算分支解的具体方法。 第四章和第五章以一类时滞振动系统为研究对象,这类系统的模型可以描述建筑、桥梁等结构受地震波作用时的演化过程。第四章首先给出了这类系统在参数平面(τ,α)上的稳定性区域划分,然后运用多尺度分析方法给出了它的小振幅周期解的近似表达式,并判定了其稳定性,第五章运用第三章的Hopf分支理论计算求解出了该类系统的Hopf分支表达式,并给出了不同情形下的分支方向。这些分析结论对揭示地震波的传播和它所引起的破坏作用具有重要的参考意义。


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