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Birman-Wenzl-Murakami代数实现及相应的Berry相位

苟立丹  
【摘要】:近来的研究表明,杨—巴克斯特方程和辫子群理论可用于量子信息和量子计算研究,这极大地丰富了以杨—巴克斯特方程为中心的有关理论,同时也为量子信息和量子计算的研究提供了新的方法。 众所周知,杨—巴克斯特方程是处理(1+1)维或2维量子可积系统的成功理论。那么,如何直接求解杨—巴克斯特方程呢?由于辫子群表示是杨—巴克斯特方程解的渐近行为,所以我们在辫子群表示中引入谱参数,便可以直接得到杨—巴克斯特方程的解,这就是所谓的杨—巴克斯特化方法。 另外,波函数的相位是所有干涉现象的根源,是量子力学最基本的概念之一。当系统的哈密顿量经过一个周期,当体系的哈密顿量在参数空间中绝热循环演化时,除动力学相位外,波函数还会积累一个几何相位。这个几何形位也称为Berry相位。后来,经过Anandan和Aharonov的发展,将其推广至非绝热条件。近二十年来,研究表明,几何相位在物理学的许多领域中有着有趣的应用。特别是最近十年,几何相位还被广泛应用于量子信息和量子计算的研究。本文讨论杨—巴克斯特方程理论及应用,主要工作集中在杨—巴克斯特方程求解,9×9辫子群表示矩阵,Birman-Wenzl-Murakami代数以及系统的几何相位研究。具体章节安排如下: 第一章简要阐述杨—巴克斯特方程理论的形成和发展,并介绍杨—巴克斯特方程的求解方案。第二章给出了几何相位的简略推导和几何相位在量子信息及量子计算领域的应用,说明了几何相位研究的重要意义。 第三章,讨论Birman-Wenzl-Murakami代数的实现。从有三个独立本征值的辫子群表示问题着手,经过大量计算得到了S矩阵,并利用S矩阵得到了E矩阵,之后证明矩阵S和矩阵E满足Birman-Wenzl-Murakam代数的全部关系式,则矩阵S和矩阵E可以作为BMW代数的一个具体表示。 第四章以第三章得到Birman-Wenzl-Murakam代数具体表示—S矩阵为基础,利用杨—巴克斯特化方法得杨-巴克斯特方程的三角解(?) ( x)矩阵。由(?) ( x)矩阵构造系统哈密顿量。在φ_1 =φ_2的条件下,讨论两个子系统的Berry相位,并将它们用SU(2)代数表示出来。 第五章首先是利用E矩阵也满足Temper-Lieb代数的事实,通过杨—巴克斯特化方法获得杨-巴克斯特方程的有理解(?) ( u)矩阵。然后由矩阵(?) ( u)构造系统的哈密顿量。虽然这个哈密顿量比较复杂,但是我们分别研究了在φ_1 =φ_2和φ_1 = -φ2两种条件下的哈密顿量H (1 )和H ( 2)的性质。最后,计算这两个系统的Berry相位,也将它们用SU(2)代数表示出来。论文最后给出本文的总结和对未来工作展望。


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