Yangian在Dirac谐振子中的应用

【摘要】： 十九世纪六、七十年代以来，杨振宁和R.J.Baxter分别创建了量子杨-巴克斯特方程(简称QYBE)，极大的推动了有关量子可积模型方面的研究，特别是V.G.Drinfeld所建立的Yangian和量子群理论对物理中的量子完全可积模型的对称性研究提供了强有力的数学工具。经过几十年的发展研究，人们在Yangian的各种物理实现和量子完全可积模型的研究方面取得了重要的进展，并给出新的物理理解和理论结果。如我们所熟悉的氢原子问题中就存在Yangian对称性及RTT意义下的量子完全可积性，但这方面的研究大部分集中于非相对论的情况。 本论文主要是将Yangian的理论应用到相对论的范畴内，利用Yangian手段来研究Dirac谐振子体系。首先通过一种Yangian的实现形式，研究在这种实现下，Yangian的生成元(?)和(?)与Dirac的哈密顿量之间的对易关系，得到的结论是，在这种条件下，Dirac谐振子不具有Yangian对称性，即[H,(?)]≠0。研究表明有[H,f((?))]=cf((?))(其中c为常数，f((?))是(?)的函数)的数学形式，即由f((?))可以构造对应不同能量本征值的量子态之间的跃迁算符。最后得到的结果与O.L.delange在1990年，用代数的方法求得的跃迁算符符合得很好。接着构造出相应的整体转移矩阵，确定Dirac谐振子在RTT意义下的量子可积性的问题，并由量子行列式确定体系的守恒量族。 然后，本文寻找Dirac谐振子的另外一种Yangian实现形式，从另一个角度研究该体系的对称性，从而表明Dirac谐振子这里这种实现下具有Yangian对称性，这样，我们可以实现在同一个能级的不同简并态之间的跃迁，再构造出相应的整体转移矩阵，确定Dirac谐振子在RTT意义下的量子可积性的问题。 由此可见，我们从Yangian代数理论出发，探讨它在Dirac谐振 子中的应用，通过不同的Yangian实现，研究Dirac谐振于的Yangian 对称性和体系不同量子态间的跃迁算符，取得了很好的结果。