一般的三次参数样条曲线的几何连续性及其插值方法

【摘要】：关于两段正则曲线在公共节点处的几何连续性的问题可以从微分几何和代数的角度考虑。在微分几何中我们主要利用曲率κ,挠率τ和Frenet标架等来考虑。R~3空间中G~2连续等价于连续的Frenet标架和曲率κ连续,G~3连续等价于连续的Frenet标架,曲率κ,挠率τ和曲率κ的一阶导函数κ′连续。 本文从代数角度给出几何连续性的理论,考虑满足二阶几何连续的一般的三次参数样条曲线构造的可行性。首先介绍了一些已有结果,如G~2,G~3连续的几何意义和文献[5][14]中构造样条曲线的手法。引入文献[3]中的定义,并在此基础上证明了正则曲线段在节点处任意阶几何连续的等价定理。介绍了过点列的一般的三次参数样条曲线的表示方法,给出了这条曲线在节点处是G~2,G~3的需要满足的三切矢方程,给出了当R~2空间中节点处的单位切矢已知时,存在一般的三次参数样条曲线在节点处是G~2的充分条件。最后给出了文[32]中的理论在本文符号下的结果,并给出了随着形状参数β_(i2)的增大,一般的三次样条曲线的形状变化趋势的例子,验证了它关于弧长的二阶导在节点处是相等的。