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带松弛项的流波方程的奇异摄动展开

高永丽  
【摘要】:本文研究了一类带松弛项的流波方程初值问题的奇异摄动展开。流波方程是描述江河流动的一类方程,它在数学上刻画了河流的深度,河床的横截面积和单位时间内通过这个截面的流量之间的关系。这类方程在流体力学中有着广泛的应用。 奇异摄动是近几十年来,特别是七十年代以来国际上研究的重要课题之一,在天体力学,流体力学,量子力学等理论的研究中有着广泛的应用。它的主要思想是将非线性的,高阶的或变系数的数学物理问题的解用所含某个(或某些)小变量的渐进近似式来表示。由于这些近似式中的系数可以由线性的或基本上线性的,较低阶的或常系数的数学物理问题来确定,所以一般比原问题简单。 本文首先提出了流波方程的子特征条件以及在子特征条件下流波方程的平衡状态方程。接着引进了一组新的变量,对原方程作了等价变形,提出了所谓的弱稳定性条件。然后文章充分利用弱稳定性条件和方程的特殊结构,结合经典的匹配原理和初始层修正的方法对流波方程作了形式逼近展开。并利用Sobolev空间的著名不等式和嵌入定理等对所得的形式展开进行了正则性的讨论和初步的估计。最后文章证明了对带松弛项的流波方程初值问题所作的奇异摄动展开的有效性,得出了有关解的存在性的一些有用的推论。


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