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《东北师范大学》 2007年
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双时滞van der Pol方程离散格式的Neimark-Sacker分支

刘鹏飞  
【摘要】: 若微分动力系统状态的发展演化不仅依赖于系统当前的状态,同时还依赖于系统在以前的某些时刻甚至某些时间区段的状态,则称此类动力系统为时滞微分动力系统,描写此类动力系统的微分方程(组)称为时滞微分方程(组)。由于时滞微分动力系统在描述客观事物时比常微分动力系统更深刻、更丰富,因而对时滞微分动力系统开展研究有深刻的理论意义和实际意义。 从定性分析的角度考虑,由于时滞微分方程的初值条件是初始函数而非简单的初值,因而时滞微分动力系统与常微分动力系统相比可能出现更为复杂的动力学行为。此外,由于时滞微分方程的复杂性,对其很难求出解析解,因而对其开展数值分析研究是十分必要的。 对于依赖参数的非线性动力系统,当其参数历经某一临界值时,动力系统的解集的结构将发生显著的变化,这就是动力系统的分支理论所要研究的问题.在众多分支现象中,一种备受人们关注的分支现象是Hopf分支。Hopf分支刻画的是系统的解集从某一平衡态向周期状态的演化。从动力系统的数值分析的角度来看,我们是有理由要求求解动力系统的数值方法保持动力系统的动力学行为特性的。比如如果原动力系统在参数值μ=μ~*处产生Hopf,分支,我们自然希望求解该系统的数值计算方法在参数μ=μ~*附近产生Neimark-Sacker分支(即第二类Hopf分支)。这一研究领域是近年来备受数值分析的相关学者关注的。 本文考虑了具有双时滞的van der Pol方程系统(1)在平衡点E_0=(0,0)处的线性化系统为其中a=f′(0) τ_1,τ_2的变化直接影响时滞微分系统(1)解集的结构,而且τ_1,τ_2所处地位相当。文中固定τ_2选取τ_1为分支参数,得到如下结论 定理存在τ_1=τ_1~0使得ω~2=αωsinτ_1ω+cos(τ_1+τ_2)ωαωcosτ_1ω-sin(τ_1+τ_2)ω=0成立,且Re[dλ/dτ_1]|_(λ=iω0τ_1=τ_1~0)≠0系统(1)在E_0=(0,0)点,当τ_1穿越τ_1~0时有Hopf分支产生。 对方程(1)采用Euler方法求解,利用线性插值近似x(t-τ_1)和y(t-τ_2)可以得到系统(1)的离散格式为 文中通过对时滞系统和离散格式二者特征方程矩阵形式的直接对比分析获得了离散格式(3)的特征根结构,这使得我们可以证明如下定理 定理当步长h充分小时,双时滞van der Pol方程(1)的向前Euler离散格式(3)在τ_1~h=τ_1~0+O(h)处具有Neimark-Sacker分支,其中τ_1~0为方程(1)的Hopf分支值。 此定理是本文的主要结论,它表明解具有双时滞的van der Pol方程的向前Euler离散格式在τ_1~h=τ_1~0+O(h)处产生Neimark-Sacker分支,亦即当以τ_1为参数,向前Euler离散格式保持双时滞van der Pol方程的Hopf分支行为。
【学位授予单位】:东北师范大学
【学位级别】:硕士
【学位授予年份】:2007
【分类号】:O193

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