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带阻尼项的Sine-Gordon方程有限差分格式的长时间性态

胡迪  
【摘要】: 本文考虑的是一维带阻尼项的Sine-Gordon方程带有齐次Dirichlet边界条件u(0)=u(L)=0,和初始条件u(x,0)=u0(x), ut(x,0)=u1(x).这里常数Ω=(0,L),α0,f∈L2(Ω). 在无穷维动力系统的研究中,Sine-Gordon方程是一类很重要的方程,它在许多研究领域中都有重要的应用.本文考虑带有阻尼项的Sine-Gordon方程,由于它是具有耗散项的波动方程,因此我们在构造差分格式的时候也要尽可能多地保持其耗散性质.在无穷维动力系统的研究中,整体吸引子是刻画动力系统长时间性态一个重要的概念,系统的最终状态完全由整体吸引子所确定.故研究动力系统的长时间性态时,整体吸引子的存在性就显得尤为重要.本文在第一章介绍了Sine-Gordon方程的背景及目前国内外研究的状况,并对一类带阻尼项的半线性波动方程(包括带有阻尼项的Sine-Gordon方程)长时间行为的进行了回顾.在第二章中我们引入了一些记号、概念及论文后续内容所用到的一些引理.在第三章中我们针对带有阻尼项的Sine-Gordon方程的特点,首先构造了一个全离散的有限差分格式;然后应用Leray-Schauder不动点定理证明了该差分格式解的存在唯一性;其次我们对该差分格式的解做了关于时间变量一致的先验估计;最后在以上研究的基础上得到了全离散差分格式的稳定性,收敛性及误差估计.在第四章中我们讨论了带有耗散项的全离散差分格式生成的离散动力系统的动力性质,证明了该差分格式生成的动力系统拥有一个整体吸引子.


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