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求解Burgers方程的数值方法及其稳定性分析

张弘博  
【摘要】:本文主要研究了求解非线性Burgers方程的数值解法,并对其进行了相应的稳定性分析。文中首先详细地介绍了计算流体力学的发展历史及Burgers方程的研究意义,指出了模拟Burgers方程的困难之处——在解中产生激波。然后,简单的介绍了文中所用到的三种数值方法(有限差分法,交替分组显示(AGE)方法和局部间断加辽金(LDG)有限元法)的提出,发展情况及基本思想,并简要地介绍了本文所进行的工作。 本文分为四章。在第二章中,我们讨论的是,利用中心差分方法求解一维非线性Burgers方程。由于在x=0附近,函数变化较剧烈,为了有效地抑制震荡,我们在(-h, h)内加密,并证明了格式的稳定性,并且通过大量数值算例,验证了方法的效果,并分析了?对解产生的影响。结果表明?越小,解越趋近于间断,反映了解的性质。 在第三章中,我们讨论了二维非线性Burgers方程的两种数值方法。首先,利用交替分组显示(AGE)方法给出了格式的构造。其次,证明了二维Burgers方程中心差分格式的l~1稳定性。 在第四章中,我们讨论了求解非线性Burgers方程的局部间断加辽金(LDG)有限元法,给出了格式的构造,稳定性分析(单元熵不等式)以及L~2稳定性,并给出了算法的实现流程。 总之,我们对求解非线性Burgers方程给出了经典有限差分法,交替分组显示(AGE)方法和间断加辽金(LDG)有限元法,分析了相关性质,并验证了方法的有效性。


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