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《哈尔滨工业大学》 2010年
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复杂系统的切换稳定性与同步分析

李祝春  
【摘要】:随着人们对现实世界认识的日益加深,人们发现许多物理系统都需要用切换系统和网络式复杂系统来描述。基于微分差分方程理论、矩阵分析及图论,本文主要研究了一类切换正线性离散系统的渐近稳定性和两类网络式复杂系统的同步性。本文所得主要结果如下: 1.研究了以(sp)矩阵为子系统的切换正线性离散系统的渐近稳定性。这里的(sp)矩阵的概念刻画了一类渐近稳定的离散线性系统。本文中首先采用图论的方法给出了它的一个形式更为简洁的新定义,然后运用偏序半群和李代数方法,建立了几个有关这类切换系统的绝对渐近稳定性的新准则。一般地,李代数条件缺少鲁棒性,本文借助于偏序半群结构在一定程度上弥补了这个不足。接着,通过对这类矩阵乘积的细致讨论,提炼出一个算术性质,由满足这个性质的有限多个(sp)矩阵生成的切换系统在任意切换下是渐近稳定的,而一旦不具备这一性质,这个切换系统连周期切换下的渐近稳定性都保证不了。这个结果给该类切换系统的应用带来了方便。借助于它,本文对带头领的线性化Vicsek模型的收敛性定理给出了一个简单而直接的新证明。由这部分结果还将得到关于联合谱半径的一个上界估计,这也是对Lyapunov指数的估计。此外,还讨论了一类切换意义下的高阶差分方程,给出了它的零解渐近稳定的充分必要条件。 2.研究了具有根领导结构的离散Cucker-Smale模型的同步行为。这一模型来源于人们解释生物群体,如鸟群、鱼群的有序运动这一自然现象的努力,并且与工程技术领域的许多实际问题,如飞行器的编队、机器人系统等有密切联系。在已有的相关工作中,连接拓扑或者是对称的,或者具有三角形结构,而本文所提出的模型同时打破了这两种假设,是首次对既无对称结构也无三角形结构的Cucker-Smale模型进行研究。而且,根领导结构是系统成员跟随具有常速度的唯一头领运动的一个必要条件。本文分别对具有固定的和切换的连接拓扑的模型建立了指数收敛率的估计,并证明了在一定的初始条件下,该系统能达到速度同步,即每个个体的运动皆与头领保持一致。此外,还考虑了网络的成员具有自由意志的情形,在这一情形下证明了速度的收敛性。 3.基于Lyapunov函数方法研究了一类耦合网络之间的外同步性。对网络拓扑相同的情形,证明了对于平衡网络,在任意的耦合强度下可以实现渐近外同步,并说明了在保持网络拓扑的平衡性的前提下,切换不会破坏外同步性。对网络拓扑不同的情形,本文将外同步与驱动网络的内同步联系起来,证明了如果响应网络是平衡的,而驱动网络可达到内同步,则耦合网络能实现外同步。本文对这两种情况分别通过数值算例来验证理论结果。在网络拓扑相同的情形下,数值算例表明,耦合强度对系统短期的外同步性能有着显著影响,但是系统的横截Lyapunov指数却与耦合强度无关。
【学位授予单位】:哈尔滨工业大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2010
【分类号】:O157.5

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【参考文献】
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【共引文献】
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