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《哈尔滨工业大学》 2013年
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双曲和四阶方程间断有限元方法的超收敛性与误差估计

孟雄  
【摘要】:间断有限元方法是一类数值求解只含有一阶空间导数的双曲守恒律方程的有限元方法。局部间断有限元方法作为间断有限元方法的推广,其适用于高阶方程的求解。间断有限元方法和局部间断有限元方法是近年来提出和发展的高阶精度高分辨率的数值算法。这体现在:一方面,在解的光滑区域,得到对真解的任意高阶精度的数值逼近;另一方面,通过采用合适的限制器(如近年来提出和发展的加权本质无振荡限制器),使得在间断解(包括激波和接触间断)附近,得到陡峭且无振荡的间断过渡。 本文主要研究几类时间相关偏微分方程的间断有限元和局部间断有限元方法的超收敛性和误差估计。超收敛性能够有效保证间断有限元解与真解的误差在很长一段时间内不会增长;尤其对很密的网格,该性质体现的更为明显,表明了间断有限元方法对波的分辨能力。本文给出了一类线性四阶方程的局部间断有限元方法和非线性双曲守恒律方程的间断有限元方法的超收敛性结果,拓宽和丰富了间断有限元方法的超收敛性理论。同时,间断有限元方法的误差分析为其高精度特点提供了坚实的理论依据;所得到的多维非线性双曲守恒律方程间断有限元方法的最优先验误差估计,进一步丰富了其收敛性理论。 首先,对于一维线性四阶时间相关偏微分方程,研究了局部间断有限元方法的超收敛性。通过构造特殊的全局投影,证明了当使用交错数值流通量时,局部间断有限元解以k+3/2阶超收敛到真解的一个特殊投影,其中k≥1为有限元空间中分片多项式的次数。研究结果推广了Cheng和Shu关于局部间断有限元方法求解一维线性对流扩散方程的超收敛性工作。此外,得到了数值解、其各阶空间导数及其时间导数的最优收敛性结果。线性问题、初边值问题、非线性方程以及奇异解情形等大量的数值算例验证了方法的超收敛性和解的长时间形态。 然后,对于一维非线性时间相关双曲守恒律方程,提出和分析了间断有限元方法的超收敛性。利用Taylor展开线性化手法和数值解的先验假设,证明了当使用迎风数值流通量时,间断有限元解以k+3/2阶超收敛到真解的一个特殊投影,将线性问题间断有限元方法的超收敛性分析拓宽到了非线性问题。此外,得到了数值解及其时间导数的最优误差估计。一维多项式非线性方程、强非线性方程和二维问题等一系列数值算例验证了方法的超收敛性和解的长时间形态,表明了间断有限元方法用于处理非线性守恒律方程的计算有效性。 最后,对于多维非线性双曲守恒律方程,给出了Cartesian网格上间断有限元方法的误差分析。利用多维特殊投影的超收敛性质,证明了当使用分片k (k≥2)次张量积多项式时,间断有限元方法对于迎风数值流通量情形的最优误差估计,并且指出了对于一般单调数值流通量情形,该方法可得到次优误差估计。 总之,间断有限元方法是一类求解双曲守恒律和对流占优偏微分方程的高阶精度、高分辨率的数值方法。本文着重研究了间断有限元方法和局部间断有限元方法的超收敛性和误差估计,给出了此类方法可有效用于长时间数值模拟的坚实理论依据,进一步证实了其高阶精度特性。误差分析和数值试验显示了间断有限元方法和局部间断有限元方法用于求解线性方程、非线性方程、一维以及多维时间相关问题的计算有效性和优越性。
【学位授予单位】:哈尔滨工业大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2013
【分类号】:O241.82

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