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《哈尔滨工业大学》 2013年
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几类随机延迟微分方程的数值分析

张玲  
【摘要】:随机模型在科学理论与生产实践中起到非常重要的作用,其中许多的模型都成功的被应用到许多的领域中,比如:生物学、传染病学、力学、经济学和金融学等领域。然而,随机微分方程的显式解析解很难得到,因此在实际应用中用数值方法求解,构造收敛速度快、精度高的数值方法是极其必要的。本文给出了半线性随机延迟微分方程和分段连续型随机微分方程数值解的收敛性与均方指数稳定性。 本文介绍了研究随机延迟微分方程和分段连续型随机微分方程的背景与意义,并且回顾了这两类方程的历史与研究现状。 探讨了分段连续型随机微分方程(SEPCAs) Euler-Maruyama方法的强收敛性。首先给出了如果方程的漂移项和扩散项满足局部Lipschitz条件和p阶矩条件,分段连续型随机微分方程的数值解收敛到其精确解。其次,给出了如果方程的漂移项和扩散项满足局部Lipschitz条件和线性增长条件,分段连续型随机微分方程的数值解收敛到其精确解。接下来考虑了如果方程的漂移项和扩散项没有满足线性增长条件数值解的收敛性。证明了如果方程漂移项和扩散项满足局部Lipschitz条件和单调条件,分段连续型随机微分方程的数值解也收敛到其精确解。用一个例子说明了线性增长条件是可以推出单调条件的。这样的条件涵盖了更多的方程,具有更加实际的意义。最后,给出了相应的数值试验。 研究了分段连续型随机微分方程(SEPCAs)的Euler-Maruyama方法的依概率收敛性。经典的Khasminskii型理论根据Lyapunov函数给出了如果方程的系数没有满足线性增长条件,随机微分方程解的全局存在性。然而,关于分段连续型随机微分方程却没有类似的结果,因此,首先在局部Lipschitz条件和Khasminskii型条件下,给出了分段连续型随机微分方程解全局存在性,然后,在相同的条件下,给出了分段连续型随机微分方程的Euler-Maruyama方法的依概率收敛性。文中给出数值算例来验证得到的结论。 考虑了半线性分段连续型随机微分方程(SLSEPCAs)指数Euler方法的强收敛性与均方指数稳定性。首先,给出了在全局Lipschitz条件和线性增长条件下半线性分段连续型随机微分方程的指数Euler方法的强收敛阶为1/2.然后通过分区间的证明方法和对数范数的定义给出了半线性分段连续型随机微分方程的精确解的均方指数稳定性。然后,应用对数的性质给出了对任意的步长半线性分段连续型随机微分方程的数值解的均方指数稳定性。并给出数值算例验证得到的结论是正确的。 探究了半线性随机延迟微分方程(SLSDDEs)指数Euler方法的强收敛性与均方指数稳定性。如果方程的漂移项和扩散项满足全局Lipschitz条件和线性增长条件,给出了半线性随机延迟微分方程的指数Euler方法的强收敛性。并应用对数范数的定义和直接证明的方法给出了半线性随机延迟微分方程的精确解的均方指数稳定性。应用对数的性质给出了对任意的步长半线性随机延迟微分方程的数值解的均方指数稳定性。数值算例验证结论是正确的。
【学位授予单位】:哈尔滨工业大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2013
【分类号】:O211.63

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