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具有时滞的捕食—食饵模型的稳定性和分支问题研究

郭爽  
【摘要】:捕食-食饵模型是种群动力学模型中一类非常重要的模型,一直以来受到生态学界和生物数学界的共同关注,尤其是近年来考虑到时滞因素的影响,对模型解的稳定性、渐近性和周期性以及各种分支现象的研究日益成为具有重要意义的研究课题之一。一般来说,时滞对微分方程解的拓扑结构会产生较大的影响,它可以改变平衡点的稳定性并导致分支及混沌现象的产生。因此,研究时滞对于捕食-食饵模型动力学性质的影响具有重要的现实意义。 本文综合运用Lyapunov稳定性理论、中心流形理论和规范型理论以及数值模拟的方法,对具有时滞的捕食-食饵模型的稳定性和分支现象进行了详细的研究,主要工作如下: 首先,研究了具有食饵依赖功能反应函数的捕食-食饵模型的动力学性质。通过构造全局Lyapunov函数并结合LaSalle’s不变性原理,证明了该模型在不含时滞项时顶层灭绝平衡点是全局渐近稳定的;对含时滞项的模型,给出了共存平衡点稳定和Hopf分支存在的条件,利用中心流形理论和规范型理论分析了Hopf分支的性质,包括分支周期解的方向、稳定性及周期等问题;利用数值模拟得到分支周期解是全局存在的结论。 然后,分析了具有比率依赖功能反应函数的时滞捕食-食饵模型的Hopf分支现象。由于食饵依赖功能反应函数的表达形式只与食饵有关,模型的某些动力学现象与野外观察和实验数据不符,因此更加合适的功能反应函数应该是既和食饵有关,也和捕食者有关,这就是所谓的比率依赖型功能反应函数。以具有比率依赖功能反应函数的时滞三种群Gause型捕食-食饵模型为研究对象,分析该模型Hopf分支的存在性,结果表明当时滞穿过某些临界值时,会出现由Hopf分支产生的周期现象。然而随着时滞的增加,与前一个模型的分支周期解是全局存在的结论不同的是该模型的周期解会消失。 再次,讨论了具有比率依赖功能反应函数的时滞Gause型捕食-食饵模型的Hopf-Fold分支现象。从种群能否共存的角度找到产生Hopf-Fold分支的临界点,利用中心流形理论计算出该模型的规范型,给出了Hopf-Fold分支临界值附近的完整分支集、临界值邻域内拓扑结构的详细分类和相应的相图分析。数值模拟出周期解、拟周期解和种群的爆发行为,与理论分析的结果相一致。 最后,证明了具有比率依赖功能反应函数的时滞捕食-食饵模型的全局稳定性。利用比较定理分析了边界解的性质,给出系统是持久的参数值,得出如果中间捕食者在有着一个较低的消耗能力而引起其灭绝,那么食饵物种将会持久生存,同时顶层捕食者将会灭绝的结论;通过变量代换的方法,得到了一个等价系统,构造全局Lyapunov泛函并结合LaSalle’s不变性原理,证明出等价系统的平凡不动点是全局渐近稳定的,对应着原模型共存平衡点是全局渐近稳定的;通过数值模拟发现当时滞τ足够大时,共存平衡点会失去其稳定性,并出现了一个稳定的周期解。这揭示了时滞对系统动力学的性质有着重要的影响。


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