收藏本站
收藏 | 手机打开
二维码
手机客户端打开本文

几类偏微分方程非标准有限差分格式的研究

张蕾  
【摘要】:偏微分方程在自然科学和工程技术中有着广泛的应用,对该类方程的研究已经有两百多年的历史。偏微分方程由起初在物理与几何问题中的一些研究慢慢发展到一个独立的数学分支,它内容丰富、解决方法多样。现在偏微分方程讨论的问题已经不仅仅局限于物理、几何学科的古典问题,在力学、生物学和化学等学科也有广泛的应用。近几十年来,对偏微分方程的研究,尤其是对非线性偏微分方程研究的发展非常迅速,成果也层出不穷。众所周知,差分方法是求解偏微分方程最有效的方法之一。 本文首先简要概述了微分方程数值算法的研究历程,介绍了偏微分方程的发展概况。给出了差分方法的定义、基本思想、经典的构造方法以及差分方法中“动力相容性”的概念。本文还阐述了精确有限差分、非标准有限差分和θ方法的发展以及现有的一些研究成果,指出精确有限差分是一类特殊的非标准有限差分方法。介绍了Fisher方程、Burgers方程、Burgers-Fisher方程、耦合Burgers方程、对流扩散方程的发展,并回顾了这5类方程的部分研究成果。 其次,在第二章中,本文在前人给出的Fisher方程行波解的基础上,使用待定系数的方法得到了步长函数(分母函数),给出了Fisher方程的一个精确有限差分格式。然而这样得到的精确有限差分格式的形式不够简单,于是本文将这样形式的精确有限差分格式转变成一个非标准有限差分格式,并且分析了该方法的局部截断误差。本文利用这样的非标准差分格式来求解Fisher方程的初边值问题,数值实验验证了这类非标准有限差分方法的可行性和有效性。 接着,在第三章中利用Burgers方程和Burgers-Fisher方程的行波解以及指数的性质进行变换,分别构造了Burgers方程和Burgers-Fisher方程的精确有限差分格式。随后,根据精确有限差分格式分别给出了两类方程的非标准有限差分格式,并利用第二章中的待定系数求极限的方法得到了两类方程的另外一组非标准有限差分格式,分别分析了两个方程的非标准有限差分格式的局部截断误差。最后,使用得到的非标准有限差分方法对这两类方程的初边值问题进行了数值模拟,并将本文中构造的非标准有限差分方法和经典的区域分解法进行了比较,展示了本文所构造方法的优势所在。 然后,本文研究了二维非线性耦合粘性Burgers方程,利用该方程的解析解和指数的性质,经过一系列的变换得到了该方程的精确有限差分格式。又分别由精确有限差分格式和待定系数求极限的方法得到了二维Burgers方程的两个非标准有限差分格式。在数值模拟中,将两个非标准差分格式进行了两组数值实验,并且跟Srivastava,Bahadir,Jain文章中的方法做了对比,数值实验表明本文中的方法同样可以达到预期的结果。 最后,本文构造了对流扩散方程的非标准θ-方法,给出了非标准θ-方法在Neumann边值和Dirichlet边值条件下的求解矩阵形式,通过分析知道给出的系数矩阵A都是不可约矩阵。最后进行了数值模拟对比验证了我们构造的非标准θ—方法数值误差比隐式标准差分方法的数值误差更小。


知网文化
【相似文献】
中国期刊全文数据库 前20条
1 王秀琴;徐琛梅;;一类非线性偏微分方程的有限差分格式的稳定性研究(英文)[J];数学季刊;2009年03期
2 余跃玉;胡兵;闵心畅;;非线性Sobolev-Galpern方程的一种有限差分格式[J];四川大学学报(自然科学版);2011年01期
3 潘书勤;冉政;;有限差分格式的群分类[J];上海大学学报(自然科学版);2012年01期
4 周朦,方国洪;二维长波方程的一个无条件稳定有限差分格式[J];海洋与湖沼;1988年02期
5 杨云,王元明;求解非线性反应扩散方程的有限差分格式(英文)[J];华东师范大学学报(自然科学版);2002年04期
6 张厚柱;张宇;孙正;;高维波动方程数值模拟的隐式分裂有限差分格式[J];石油物探;2007年06期
7 徐琛梅;杨巍纳;;一类非线性偏微分方程的有限差分格式的稳定性问题[J];河南大学学报(自然科学版);2008年03期
8 刘欣;黄凯美;李福乐;;一类非线性抛物型方程的有限差分格式[J];青岛农业大学学报(自然科学版);2009年02期
9 M.雷里;R.伦高尼;V.彭莱梯;姚敬之;;二维有限差分格式的简洁分析表达式[J];华水科技情报;1985年04期
10 D.L.罗伯特;M.S.赛里姆;陈玉田;;解一维抛物型偏微分方程的六种显式和两种隐式有限差分格式的比较[J];华水科技情报;1985年04期
11 P.C.米柯;J.努贝利;王润秋;;关于活动边界问题的一个两步二层的有限差分格式[J];华水科技情报;1985年04期
12 张中诚;一种新的不稳定导热有限差分格式[J];甘肃工业大学学报;1990年04期
13 张丽芳,王元明;求解非线性时滞反应扩散方程的有限差分格式(英文)[J];华东师范大学学报(自然科学版);2004年04期
14 刘伟;袁益让;;三维半导体器件问题在时空局部加密复合网格上的有限差分格式[J];计算数学;2006年02期
15 刘伟;袁益让;;二维半导体问题在复合网格上的有限差分格式(英文)[J];计算物理;2006年06期
16 刘剑明;;带有非线性非局部流量边界条件反应扩散方程的有限差分格式[J];高等学校计算数学学报;2008年04期
17 徐琛梅;成金环;;一类非线性反应扩散方程有限差分格式的稳定性分析[J];江西科学;2010年02期
18 刘伟;袁益让;;三维热传导型半导体器件问题在局部加密网格上的有限差分格式[J];应用数学学报;2012年02期
19 郭柏灵;Захаров方程周期边界条件一类有限差分格式的收敛性和稳定性[J];计算数学;1982年04期
20 王珏;张法勇;;带有多项式非线性项的高维反应扩散方程有限差分格式的长时间行为[J];计算数学;2007年02期
中国重要会议论文全文数据库 前3条
1 申义庆;杨国伟;高智;;高分辨率有限紧致格式[A];中国力学学会学术大会'2005论文摘要集(下)[C];2005年
2 杨顶辉;滕吉文;张中杰;;二维各向异性介质数值模拟中的TVD方法[A];1995年中国地球物理学会第十一届学术年会论文集[C];1995年
3 高智;李明军;朱力立;;对流扩散方程的变步长摄动有限差分格式[A];计算流体力学研究进展——第十一届全国计算流体力学会议论文集[C];2002年
中国博士学位论文全文数据库 前5条
1 吕永强;Landau-Lifshitz方程的有限差分格式与整体正则解[D];中国工程物理研究院;2004年
2 张磊;非标准有限差分法和参数扰动法在微分方程上的应用[D];哈尔滨工业大学;2012年
3 王瑞文;流体力学及海洋数值模拟基于POD技术的降维方法研究[D];首都师范大学;2007年
4 沈俊;生物型体竞争模型的高分辨率高精度方法[D];中国科学技术大学;2007年
5 杜娟;流体力学方程基于POD方法的降维数值解法研究[D];北京交通大学;2011年
中国硕士学位论文全文数据库 前10条
1 赵小红;一类非线性偏微分方程的若干有限差分格式[D];燕山大学;2008年
2 张磊;二维Ginzburg-Landau方程有限差分格式的长时间性态[D];黑龙江大学;2007年
3 王珏;带有多项式非线性项的三维反应扩散方程有限差分格式的长时间行为[D];黑龙江大学;2006年
4 董明华;双曲守恒方程的一类高精度算法[D];哈尔滨工业大学;2011年
5 李福乐;一类带有边界反馈的Timoshenko梁方程的有限差分格式[D];东南大学;2005年
6 常红;Camassa-Holm方程的有限差分格式[D];江苏大学;2009年
7 胡迪;带阻尼项的Sine-Gordon方程有限差分格式的长时间性态[D];黑龙江大学;2010年
8 国萃;某些非线性方程数值解的长时间性态[D];黑龙江大学;2005年
9 程晓亮;解热传导方程的一类修正局部有限差分格式[D];首都师范大学;2009年
10 段晓敏;某些非线性方程的数值分析[D];黑龙江大学;2005年
中国知网广告投放
 快捷付款方式  订购知网充值卡  订购热线  帮助中心
  • 400-819-9993
  • 010-62982499
  • 010-62783978