几类偏微分方程非标准有限差分格式的研究

【摘要】：偏微分方程在自然科学和工程技术中有着广泛的应用，对该类方程的研究已经有两百多年的历史。偏微分方程由起初在物理与几何问题中的一些研究慢慢发展到一个独立的数学分支，它内容丰富、解决方法多样。现在偏微分方程讨论的问题已经不仅仅局限于物理、几何学科的古典问题，在力学、生物学和化学等学科也有广泛的应用。近几十年来，对偏微分方程的研究，尤其是对非线性偏微分方程研究的发展非常迅速，成果也层出不穷。众所周知，差分方法是求解偏微分方程最有效的方法之一。 本文首先简要概述了微分方程数值算法的研究历程，介绍了偏微分方程的发展概况。给出了差分方法的定义、基本思想、经典的构造方法以及差分方法中“动力相容性”的概念。本文还阐述了精确有限差分、非标准有限差分和θ方法的发展以及现有的一些研究成果，指出精确有限差分是一类特殊的非标准有限差分方法。介绍了Fisher方程、Burgers方程、Burgers-Fisher方程、耦合Burgers方程、对流扩散方程的发展，并回顾了这5类方程的部分研究成果。 其次，在第二章中，本文在前人给出的Fisher方程行波解的基础上，使用待定系数的方法得到了步长函数（分母函数），给出了Fisher方程的一个精确有限差分格式。然而这样得到的精确有限差分格式的形式不够简单，于是本文将这样形式的精确有限差分格式转变成一个非标准有限差分格式，并且分析了该方法的局部截断误差。本文利用这样的非标准差分格式来求解Fisher方程的初边值问题，数值实验验证了这类非标准有限差分方法的可行性和有效性。 接着，在第三章中利用Burgers方程和Burgers-Fisher方程的行波解以及指数的性质进行变换，分别构造了Burgers方程和Burgers-Fisher方程的精确有限差分格式。随后，根据精确有限差分格式分别给出了两类方程的非标准有限差分格式，并利用第二章中的待定系数求极限的方法得到了两类方程的另外一组非标准有限差分格式，分别分析了两个方程的非标准有限差分格式的局部截断误差。最后，使用得到的非标准有限差分方法对这两类方程的初边值问题进行了数值模拟，并将本文中构造的非标准有限差分方法和经典的区域分解法进行了比较，展示了本文所构造方法的优势所在。 然后，本文研究了二维非线性耦合粘性Burgers方程，利用该方程的解析解和指数的性质，经过一系列的变换得到了该方程的精确有限差分格式。又分别由精确有限差分格式和待定系数求极限的方法得到了二维Burgers方程的两个非标准有限差分格式。在数值模拟中，将两个非标准差分格式进行了两组数值实验，并且跟Srivastava，Bahadir，Jain文章中的方法做了对比，数值实验表明本文中的方法同样可以达到预期的结果。 最后，本文构造了对流扩散方程的非标准θ-方法，给出了非标准θ-方法在Neumann边值和Dirichlet边值条件下的求解矩阵形式，通过分析知道给出的系数矩阵A都是不可约矩阵。最后进行了数值模拟对比验证了我们构造的非标准θ—方法数值误差比隐式标准差分方法的数值误差更小。