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频率域波动方程高精度有限差分格式及并行模拟算法研究

李扬  
【摘要】:随着易采矿藏的逐步衰竭和科技的进步,勘探技术对效率和精度的要求越来越高。现有先进地震成像技术大多需要一种高效精确的正演模拟算法,而频率域波动方程求解则是其中之一。波动方程可由有限差分法、有限元法、不连续Galerkin法或谱元法等来进行离散。有限差分法以其简单及计算效率高在地震勘探领域得到了广泛的应用。设计一种高精度的有限差分方法可以降低空间采样精细度或提高模拟频率,这对提高成像精度大有裨益。此外,由于离散形式的频率域正演模拟等同于求解一个大型稀疏线性方程组,因此一个快速稳定的解法对许多频率域内地震成像技术(如全波形反演和逆时偏移成像等)的实现也十分重要。考虑到地下介质高度的非均匀性,各向异性以及其他复杂的性质,由波动方程离散化导出的线性方程组系数矩阵不定且高度病态,求解此类方程组是一个巨大的挑战。由此,本文基于以上两点做了如下工作:首先,针对频率域声波正演模拟问题探讨了二阶差分格式,混合网格差分格式和四阶差分格式,在理论上分析了这几种格式的收敛阶,并通过数值实验证实了相应的收敛阶。将数值解与精确解作对比,进一步考察了不同格式的绝对误差。通过对比求解所需计算时间,分析了三种格式各自的执行效率。结果显示混合网格格式是其他两种格式的一个折中,在保证数值解较高精度的同时仍能将计算量维持在与二阶精度相近的水平上。其次,对于二维频率域弹性波场模拟,从二阶交错网格格式出发,通过与时间域地震记录的对比验证了格式的精确性。在四阶交错网格格式基础上引入反集中质量技巧,在频散分析的框架下通过极小化归一化相速度与单位一之间的偏差,给出了最优的四阶交错网格格式。该格式的频散较经典四阶格式有了大幅的减少,因而可以在单位波长内采取更少的网格点而同时保证数值解的精度,这将会大大降低波场模拟的计算量。通过在复杂的Marmousi2模型中进行模拟并将结果与时间域地震记录作对比,验证了该格式的精确性。再次,为了得到三维情况下最优的四阶交错网格差分格式,建立三维(粘)弹性波动方程频散分析理论框架,分别应用基于梯度的Levenberg-Marquardt算法和结合了下山单纯形法的全局收敛模拟退火算法来求解归一化相速度和单位一之间偏差泛函的极小化问题,确定了最优的质量加权平均系数和最优四阶差分系数。频散曲线分析指出该最优格式受Poisson比影响较小,在群速度误差上限设置为1%时,单位波长内仅需3.7个网格点即可。定量地分析了最优格式和经典格式在应用直接法和迭代法时内存耗用的差异,指出了最优格式可大大降低波场模拟的内存耗用量。通过与声波、弹性波方程精确解的对比,在数值上验证了最优格式的高精度,即使在单位波长内仅有3.3个网格点的情况下,最优格式仍能较准确地匹配精确解。最后,在二、三维弹性波场模拟中应用高度并行的CARP-CG方法以应对大规模计算带来的挑战。通过数值实验研究了Poisson比、自由表面边界条件和地震衰减效应对该迭代法收敛性的影响。针对并行计算问题,设计了多频不同规模的波场模拟以考察CARP-CG方法在多核计算时的可扩展性,讨论了该方法在大规模波场模拟中的可行性。通过分析计算复杂度,探讨了CARP-CG方法应用于频率域波场模拟相较于直接在时间域进行模拟的优势。将CARP-CG方法与GMRES,CGNR和BiCGSTAB方法做对比,指出了CARP-CG方法对于不同的介质参数和实验设定均能收敛,展现了极好的稳定性。由此,CARP-CG方法可为地震成像技术提供一个高效的大规模正演模拟算法。


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