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《哈尔滨工业大学》 2017年
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微分形式上若干算子的范数不等式

李雪鑫  
【摘要】:微分形式是函数的自然推广,其相关研究发展了欧式空间中的微积分理论。作为处理流形上微积分理论的有力工具,微分形式在偏微分方程、微分几何以及物理学中的力学、电磁学等研究方向发挥着重要的作用。另一方面算子理论在数学、物理、工程、计算机等众多领域更是扮演着不可或缺的角色。在过去的二十年中,微分形式理论,包括微分形式上的方程理论、微分形式的算子理论、微分形式的L~p理论和区域的刻画等迅速发展,成为了当今科学研究的热点领域之一。微分形式的算子理论在现代科学研究中起着重要的作用,并且在众多领域应用广泛。本文主要研究调和分析和偏微分方程中的经典算子,如极大算子、奇异积分算子、Green算子、Dirac算子和其复合算子在微分形式空间上的范数不等式。特别地,针对非齐次A-调和张量及共轭A-调和张量,进一步研究了相关算子的范数有界性。本文主要研究内容包括以下几个方面:首先,利用微分形式的分解性质和基本不等式等工具,结合极大算子及位势算子的有界性,研究了微分形式上极大算子和位势算子的复合算子Ms?P的有界性,并对复合算子Ms?P的L~p范数、BMO范数和Lipschitz范数进行了比较。其次,定义了微分形式上的多重线性Calderón–Zygmund奇异积分算子L和L,在一般的微分形式空间上运用Calderón–Zygmund分解等技巧讨论了多重线性Calderón–Zygmund奇异积分算子的端点弱有界性,为得到算子的强有界性提供了重要支撑。针对非齐次A-调和张量,通过H?lder不等式和特征函数等方法对多重线性Calderón–Zygmund奇异积分算子L在微分形式上的L~p范数进行了估计。然后,研究了微分形式上包含Hodge-Dirac算子的复合算子范数不等式,对复合算子M?s?D?G的L~p范数、BMO范数、Lipschitz范数的上界以及相应的加权BMO范数和加权Lipschitz范数的上界进行了估计。并且对Jacobian行列式的子行列式和K-拟正则映射等,估计了其在复合算子M?s?D?G作用下的上界。推广了BMO范数和Lipschitz范数的概念,对微分形式上的复合算子Dk?Gk和Dk+1?Gk的广义BMO范数和广义Lipschitz范数进行了比较。最后,考虑到Orlicz函数理论在近代分析学中的重要作用,结合Orlicz函数和有界平均震荡空间的概念,给出了L~φ-Lipschitz范数和L~φ-BMO范数的定义。利用一类Young函数,G(p,q,C)-类,讨论了同伦算子T作用于微分形式的L~φ-Lipschitz范数和L~φ-BMO范数不等式。然后推广了共轭A-调和张量的范数比较不等式,对共轭A-调和张量u和v的L~φ-BMO范数进行了估计。
【学位授予单位】:哈尔滨工业大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2017
【分类号】:O177

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