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《哈尔滨工业大学》 2018年
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基于粒子方法的两类偏微分方程的适定性研究

高瑜  
【摘要】:粒子方法在过去几十年间得到了巨大的发展,被用来研究偏微分方程的解。粒子方法最“自然”的应用是在线性传输方程上,然而近年来这类方法也被用来处理对流扩散方程以及一些其它非线性方程。本文主要介绍一些粒子方法来处理两类偏微分方程,一类是非线性色散方程,一类是Vlasov型方程。本文首先研究一维空间上带有三阶非线性项的修正Camassa-Holm方程(m CH)解的适定性。与著名的Kd V方程类似,m CH方程是用来描述浅水波运动的方程。该方程是一个非线性色散方程,而且它是一个完全可积系统,具有双Hamiltonian结构以及Lax对。由现有文献可知,m CH方程的强解局部存在且唯一。对于许多光滑初值,此方程的强解在有限时间内会有爆破行为。本文的主要目标之一是研究如何去全局延拓爆破后的解,即m CH方程弱解的全局存在性。首先从m CH方程的一类特殊弱解——N-peakon解入手。peakon解轨道所满足特征方程的向量场具有非Lipschitz性,这是由peakon之间有限时间内碰撞所产生的。因此如何去全局延拓peakon解轨道是一个很自然的问题。受天体物理中粘性粒子模型的启发,本文针对m CH方程的弱解提出了一个粘性粒子模型,给出一个粘性粒子方法及其收敛性的证明。此粘性粒子方法可以给出全局粘性N-peakon解;对于一般的Radon测度初值,利用粘性粒子模型的平均场极限得到了m CH方程的一般全局弱解;证明了弱解在一类空间中的稳定性,且提供了一些peakon弱解不唯一的例子。接下来针对m CH方程弱解的唯一性,本文给出了一种色散正则化方法。此方法与处理不可压缩Euler方程的“涡旋泡”方法(Vortex blob method)类似。如上所述,m CH方程的peakon解轨道会在有限时间内碰撞,并造成其特征方程向量场的非Lipschitz性。为了得到唯一的全局N-peakon解,本文通过两次磨光peakon轨道特征方程来给出m CH方程的一个色散正则化的系统。经过磨光的特征方程是全局Lipschitz的,因此可以得到全局近似peakon轨道,且这些轨道相互之间不碰撞。利用这些近似轨道的极限,可以得到全局的peakon轨道,这些轨道全局Lipschitz且不会互相穿过。利用这些轨道可以构造m CH方程的N-peakon解,然后可以通过一个平均场极限过程得到Radon测度初值时弱解的全局存在性。最后本文利用粒子方法研究了Rd空间上一类Vlasov型方程的弱测度值解。此Vlasov型方程带有局部对齐力,是描述N个粒子的自组织行为模型——MotschTadmor(MT)模型的动力学方程,即粒子个数无穷多时描述粒子密度函数的偏微分方程。MT模型为此Vlasov型方程提供了一个自然的粒子方法,不同于以上两种粒子方法,该粒子的运动所满足的常微分系统是二阶的。对于N个粒子的系统,本文研究了一个加权的MT模型和一个带有“尾巴”项的模型的无条件成群行为。当N趋于无穷大时,本文得到了MT模型的动力学方程的测度值解的全局存在性和稳定性,并且证明了测度值解收敛到成群状态。
【学位授予单位】:哈尔滨工业大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2018
【分类号】:O175.2

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