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波动方程反问题的多尺度—信赖域反演方法

冯国峰  
【摘要】: 波动方程反问题在许多领域具有广泛的应用,它既具有非线性和不适定性的本质性困难,在实际应用中又具有计算量巨大的问题。因此开展波动方程反问题及其数值反演算法的研究既具有理论意义,又具有实际应用价值。 本文将针对波动方程反问题的特点以及当前数值反演方法面临的主要困难,以二维波动方程反问题为具体的数学模型,通过把信赖域技术和同伦方法引入到二维波动方程反问题的数值求解过程中,对单尺度的数值反演方法进行了改进,并结合多重网格方法,构造了能够极大减少计算量的多尺度反演算法。 通过结合求解不适定问题的Tikhonov正则化方法,二维波动方程反问题的数学模型能够转化为一个非线性优化问题,而求解这个问题的正则-高斯-牛顿法对于高度非线性的问题往往不收敛,并且只具有局部收敛性。 本文对这种方法进行了改进,构造出相应的正则-拟牛顿型迭代公式,并通过引入控制阈值来控制迭代反演过程中反演算法的选取,从而构造了单尺度上的自由选择公式的方法。进而将信赖域技术引入到构造的迭代公式中,来动态地选择正则化参数,得到了单尺度上的自适应反演方法。 为了放宽对解的初始猜测的限制,克服反问题中众多局部极小的问题,保证算法的收敛性,本文在简要介绍同伦方法的思想后,将同伦方法引入到单尺度自适应反演方法中,形成了大范围收敛的单尺度自适应反演算法。 为了减少数值反演算法的计算量,增强数值反演算法求解大规模波动方程反问题的能力,本文对多重网格算法的理论进行了研究,以在单尺度上构造的方法作为固定尺度上的光滑化算法,分别基于信赖域技术或者梯度信息,构造出波动方程反问题的大范围收敛的多尺度反演算法。 本文应用构造出来的反演算法进行了二维波动方程反演的数值模拟,使用点状震源,分别对层状介质、单异常体和多异常体的情况进行了反演数值计算,从实际计算效果上对构造的各种算法进行了比较。 对结果的分析和比较说明了所构造的数值反演方法的收敛性和效率,表明构造的方法具有较强的适应性,能够在一定程度上克服波动方程反演的众多困难,并且在理论上具有一定的创新性.而且由于所构造多尺度反演算法的灵活实用,使得本文的研究具有普遍意义,可以很容易地推广到各个领域。


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