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有界区域上p(x)-Laplacian问题解的存在性

赵辉  
【摘要】: 本文的主要研究内容是在空间L~(p( x))和W~(k, p(x))的基本理论体系的基础上,研究p (x)-Laplacian问题多重解的存在性。 随着弹性力学的发展,对非标准增长条件p (x)-Laplacian问题的研究是近年来发展起来的一个新的研究课题。p (x)-Laplacian方程来源于许多物理背景,例如,非Newton流体问题(Newton流体问题对应于p =2),非线性弹力问题等。因此对这类问题的研究具有广泛的理论与实际意义。对p (x)?Laplacian问题的研究,有很多不同的方法。近期,临界点理论似乎成为解决偏微分方程问题的一个非常有用的工具。利用这个工具可以成功地解决不少微分方程解的存在性问题,尤其是具有非标准增长条件的Laplacian问题。 本文借助广义Lebesuge空间L~(p(x))和广义Sobolev空间W~(k,p(x))的基本理论,尤其是嵌入定理,研究了p (x)-Laplacian问题的多重解的存在性,这里Ω(?)R~N为具有光滑边界(?)Ω的有界区域, p (x)在Ω上Lipschitz连续并满足2 p~-≤p( x)≤p~+N, g是连续的。本文使用的方法是变分法且运用了临界点理论和Brezis-Nirenber定理。在研究过程中巧妙地使用了空间分割的技巧。 得出如下结果:当g满足一定条件时, p (x)-Laplacian问题至少有两个非平凡弱解。


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