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探地雷达反问题的同伦算法研究

李壮  
【摘要】: 作为探地雷达数据处理的基础和成像过程的关键环节,探地雷达的数值模拟引发了人们越来越多的关注和兴趣。基于Maxwell方程的地下复杂介质中电磁波传播的正、反演问题,已日益成为探地雷达基础理论研究中的前沿课题。作为代数拓扑学中的一个基本概念,把同伦思想引入到非线性算子方程的求解之中,能够克服传统数值迭代方法容易陷入局部收敛的弱点,放宽对初始猜测选取的严格限制,进而形成高效、实用的大范围收敛方法。有鉴于此,本文将同伦方法引入到探地雷达反问题的求解过程中,开展了一系列兼有计算量小、抗噪能力强、收敛范围广、程序易于实现之特点的数值反演方法研究,实现了探地雷达反问题真正意义上的完全非线性反演。 本文的主要工作包括:1、从电磁场基本理论出发阐述了探地雷达反问题模型的构造过程,在前人工作的基础上对模型增设了吸收边界条件,使之更适于实际计算的要求;2、将大范围收敛的同伦方法引入到地下介质参数识别的反演过程中,构造了大范围收敛且结果稳定的同伦正则化反演算法、同伦参数微分反演算法和同伦自适应方法,并从理论上证明了算法的全局收敛性,通过数值实验验证了算法的有效性;3、将多尺度反演与同伦反演思想进行结合,构造出既具有大范围收敛性质,又能有效降低反演工作量的同伦-小波混合算法和同伦-多重网格混合算法;4、将电磁记录与测井资料相联系,构造了基于同伦和测井约束的系列混合反演算法,提高了探地雷达反演的纵向分辨效果。除绪论之外的各章包括如下内容: 在本文的第2章,通过对Maxwell方程组和吸收边界条件的分析,研究了探地雷达反问题连续模型和相应的有限差分离散模型的构造过程。作为本文的重点章节,在第3章中详细地讨论了同伦算法的原理和同伦反演的基本思路。首先,结合Tikhonov正则化和同伦方法,构造了融合两者优点的同伦正则化算法,算法克服了反问题的不适定性,扩大了初始猜测选取和算法收敛的范围。其次,构造了同伦参数微分反演算法,并从理论上给予了算法全局收敛性的严格证明。在本章的最后,完成了同伦自适应算法的设计:算法借助信赖域方法,通过设置阈值自适应地选择正则化参数,在同伦反演优点的基础上,增强了算法的灵活性和实用性。 在第4、第5章中,基于小波多尺度和多重网格多尺度思想,构造了同伦-小波混合反演算法和同伦-多重网格混合反演算法,将原始反问题转化为一系列嵌套子空间中的反问题序列,在最大尺度上采用大范围收敛的同伦反演方法作为全局搜索的工具,拓宽了搜索范围,保证了最大尺度上求解在全局范围内进行。算法分别利用了小波分析和多重网格两种技术的各自优势,具有全局搜索能力,收敛速度较快,反演效果良好,在多解或目标函数存在大量局部极小点的情况下,仍能保证最大尺度上的全局收敛性。 在第6章中,利用测井约束条件构造了同伦-测井约束混合反演系列算法。算法将地表的横向资料与测井的纵向资料相结合,提高了探地雷达反演的纵向分辨效果。通过引入小波分析和多重网络方法,构造了对应的两种多尺度算法,提高了反演算法的稳定性和抗噪能力,减少了反演计算量。 本文在同伦思想基础上构造的各种反演算法及其应用成果,尽管是针对探地雷达反演这一特定问题而得到的,但由于所构造算法的普遍性和一般性,还可将其推广到其它类型反问题的应用研究中,具有较高的理论价值和实用价值。


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