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几类带跳随机微分方程数值解的收敛性和稳定性

赵桂华  
【摘要】:本文主要研究了几类带跳随机微分方程数值解的收敛性和稳定性。作为重要数学模型的带跳随机微分方程广泛应用于物理学、生物学、医学、经济学和控制学等领域。由于很难获得带跳随机微分方程的显式解表达式,构造适用的数值方法和研究数值解的性质成为既有重大理论意义又有实际价值的研究课题。 本文叙述了带跳随机微分方程的应用背景,回顾了带跳随机微分方程解析解的稳定性、数值解的收敛性和稳定性的发展状况。 对于一类线性脉冲随机微分方程,研究了半隐式Euler方法的均方稳定性。建立了原方程解析解均方稳定的充分条件,还证明了当该条件成立时,如果步长和系数满足一定的条件,那么半隐式Euler方法是均方稳定的,并给出了数值试验。 对于d维非线性脉冲随机延迟微分方程,研究了Euler-Maruyama方法的均方指数稳定性。作为应用,给出了一类线性脉冲随机延迟微分方程Euler-Maruyama方法均方指数稳定的充分条件并给出了相应的数值试验。 对于带泊松跳马尔可夫调制随机延迟微分方程,研究了半隐式Euler方法的收敛性与稳定性。如果方程系数满足全局Lipschitz条件,那么半隐式Euler方法是收敛的;如果方程系数满足局部Lipschitz条件,解析解与数值解的p阶矩有界(p 2 ),那么半隐式Euler方法是收敛的。对自治系统,证明了如果方程系数满足全局Lipschitz条件,那么解析解均方指数稳定的充要条件是对于充分小的步长,数值解是均方指数稳定的。文中对收敛性给出了数值试验。 最后,研究了带泊松跳随机延迟微分方程的split-step backward Euler (SSBE)方法的收敛性。证明了如果方程系数满足局部Lipschitz条件,解析解和Euler-Maruyama方法离散所得到的数值解的p阶矩有界( p 2 ),那么Euler-Maruyama方法是收敛的;证明了如果漂移系数满足单边Lipschitz条件,扩散系数与带跳系数满足全局Lipschitz条件,那么SSBE方法是收敛的。


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