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求解大型稀疏线性方程组的几类预处理算法研究

曹文彦  
【摘要】:在科技、工程科学等各个领域中,许多问题最终大都归结为对大规模线性方程组的求解。目前,以变分原理为基础的共轭梯度法(CG法)、及以Galerkin原理为基础建立的广义极小残余(GMRES(m))迭代法是高效求解此类方程组的两类算法。然而数值算例表明,当系数矩阵的条件数很大时,由于迭代次数的增加会导致计算量和存储量增大,使这些算法的收敛速度变得很慢,甚至不收敛。基于此,论文结合不完全分解的预处理技术提出几类新算法,推导出算法的迭代步骤,并从理论上对新算法的收敛性进行分析。最后通过数值算例,给出数值解、精确解及绝对误差的具体数据和直观图像。论文主要结构如下:首先,论文简单阐述了CG法、GMRES(m)算法、预处理技术的研究背景、国内外研究现状、研究意义及相关的理论基础知识。其次,在CG法的基础上,通过改进SSOR预处理矩阵形式,给出新的SSOR-ICCG迭代法,推导出新算法的迭代步骤。理论分析了新算法的收敛性,然后利用Matlab软件,求得原方程组的数值解,并将其与精确解进行比较,数值结果表明新算法是有效、可行的。然后,将不完全LU分解的预处理技术与VRP-GMRES(m)算法相结合,提出ILU-VRP-GMRES(m)算法,推导出新算法的迭代过程。通过理论分析和数值算例验证了新算法的可行性和收敛性,并且分析了影响新算法计算精度、计算效率的因素。论文将新算法与GMRES(m)算法、VRP-GMRES(m)算法进行了比较,更加突出新算法的高效性、准确性,在实际问题的计算中起到了关键性的作用。最后,简单介绍了加权GMRES(m)算法及它的迭代步骤。然后将不完全LU分解的预处理技术与加权GMRES(m)算法相结合,提出ILU-WGMRES(M)算法,推导出新算法的迭代步骤。理论分析证明了新算法的收敛性,并通过数值算例表明新算法的高效性、准确性。


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