变分不等式求解一类时间依赖摩擦问题的研究

【摘要】： 工程中的许多实际问题都可以用抛物型变分不等式来描述,如在物理、力学以及优化控制方面。因此对于抛物型变分不等式算法的研究就显得尤为重要。近年来关于变分不等式算法的研究取得了迅速的发展,但是多数都是针对椭圆型变分不等式来进行的,对于抛物型变分不等式,由于它含有时间的导数项,有些还有不可微项,计算起来比较困难,因此对它的算法的研究还不是太多,而生活中大量的实际问题是用抛物型变分不等式来描述的,因此对抛物型变分不等式算法的研究是很有研究前景的而且也是很有意义的。 在本论文中针对上述困难我们用时间项半离散和隐格式方法将抛物型变分不等式转化为一个椭圆型变分不等式,对不可微项用数值积分近似,使得计算更加方便,在此基础上给出了变分不等式的松弛算法和对偶算法。 全文共分为五章: 第一章概述了变分不等式、有限元法和有限元法求解抛物型变分不等式的现状,介绍了目前国内外学者的研究动态。 第二章给出了论文所涉及到的主要理论基础,如椭圆型变分不等式的相关理论,Sobolev空间理论以及有限元基础等一些基础理论知识,为以后章节内容的讨论奠定了理论基础。 第三章主要给出了与摩擦问题等价的抛物型变分不等式及其解的存在唯一性定理,并给出了它在空间半离散格式和全离散格式下的误差估计。 第四章主要研究了抛物型变分不等式的松弛算法,给出了松弛算法及其收敛性定理,最后给出数值算例,验证了算法的可行性。 第五章主要研究了抛物型变分不等式的对偶算法及其收敛性,并给出数值算例验证了算法的可行性。