几类非线性波动方程的高能爆破问题
【摘要】：本题目来源于国家自然科学基金青年科学基金项目课题“高阶非线性发展方程的高能问题（11101102）”.本文分别研究了一类具有广义源项的非线性波动方程,一类具有多个异源项的非线性波动方程,一类四阶非线性色散耗散波动方程,一维六阶非线性波动方程的初边值问题.应用位势井理论凹函数方法和反耗散技术,本文分别证明了这些问题的某些具有任意正初始能量的解在有限时间内爆破.
为了得到这些问题解的高能爆破结果,需要证明在这些问题的流之下不稳定集合的不变性.在低初始能量E(0)d状态下证明不稳定集合的不变性通常采用反证法,通过导出J(u(t_0))≥d与J(u(t_0))≤E(0)d相矛盾,显然在E(0)0的情况下此矛盾是不成立的.
对于具有一般广义源项的非线性波动方程以及具有多个异号源项的非线性波动方程,课题重点分析了复杂源项对非线性波动方程初边值问题在高能情况下整体解不存在的影响.课题通过应用位势井理论凹函数的方法,给出了在高初始能量的状态下初值满足什么样的条件,这两个问题整体解会不存在.
对于带有色散耗散的非线性波动方程,课题给出了解在空间中的某些范数关于时间是单调递增的,进而得到了在该问题流之下的不稳定集合关于时间是不变的.通过使用位势井凹函数方法与反耗散技术,课题证明了该问题的某些具有任意正初始能量的解会在有限时间内发生爆破.
对于一维六阶非线性波动方程,课题应用解的不变集合思想以及凹函数方法,给出了该问题具有高初始能量的局部解会在有限时间内爆破的一个充分条件.
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